齐次方程的通解为 y?C1?C2e 因为??i???5i不是特征根。所以，
设非齐次方程的特解为 y1(x)?Asin5x?Bcos5x 代入原方程，比较系数得
5x??25A?25B?1? ??25A?25B?0
11A??B?50， 50 。 确定出
1y?C1?C2e5x?(cos5x?sin5x)50原方程的通解为 。
11．解 特征方程为
A??E?
1??1?041?? 2即 ??2??3?0 。 特征根为 ?1?3，?2??1 。
?1?3对应特征向量应满足
?1?31??a1??0??41?3??b???0???1??? ?可确定出
?a1??1??b???2? ?1??? 同样可算出?2??1对应的特征向量为
?a2??1??b????2? ?2??? 所以，原方程组的通解为
?e3t??e?t??x??y??C1?3t??C2??t?2e?2e?????? 。
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．证明 由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条
(x0,y0)，其中
件． 显然y??1是方程的两个常数解． 任取初值
x0?(??,??),y0?1．记过该点的解为y?y(x)，由上面分析可知，一方面y?y(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y?1，下方不能穿过y??1，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为(??,??)．
13．证明 如果y??1(x)和y??2(x)是二阶线性齐次方程 y???p(x)y??q(x)y?0 的解，那么由刘维尔公式有 现在，p(x)?0故有
W(x)?W(x0)e??x0p(t)dtxx
W(x)?W(x0)e?0dt?x0?W(x0)?C 。
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常微分方程期终试卷(10)
一、填空（30分）
dyydy?g()?P(x)y2?Q(x)y?R(x)x称为齐次方程，dx1、dx称为黎卡提方程。
dy?f(x,y)yf(x,y)2、如果在R上连续且关于满足利普希兹条件，则方程dx存在唯一的
x?x0?h?(x0)?y0，其中
解y??(x)，定义于区间上，连续且满足初始条件
b)M?maxf(x,y)(x,y)?RM，。
x(t)(i?1，2，……，n)是齐线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)3、若ih?min(a,'w满足一阶线性方程(t)?a1(t)w(t)?0。
MLk?1?k(x)??k?1(x)?(x?x0)kk!4、对逼卡逼近序列，。
'x?(t)?(t)5、若和都是?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系?(t)??(t)C。
?M?N??y?x??(x)M(x,y)dx?N(x,y)dy?0N6、方程有只含x的积分因子的充要条件是。
?M?N??y?x??(y)y?M有只含的积分因子的充要条件是。
dyy2?1?dx2经过(0,0)点的解在存在区间是(??,??)。 7、方程
二、 计算（60分）
1、 求解方程xdy?(y?xy)dx?0。 解：所给微分方程可写成
(xdy?ydx)?xydx?0 即有 d(xy)?xydx?0
242424d(xy)1?2dx?044x上式两边同除以(xy)，得 (xy) 11??c13x3(xy)由此可得方程的通解为
23331?3xy?cxy (c??3c1) 即
?23y?p?2p2、 求解方程
解：所给方程是关于y可解的，两边对x求导，有
p?(2p?6p2)（1） 当p?0时，由所给微分方程得y?0；
dpdx
2x?2p?3p?c。 dx?(2?6p)dp（2） 当时，得
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因此，所给微分方程的通解为
223 x?2p?3p?c，y?p?2p （p为参数）
而y?0是奇解。
'''t2t3、 求解方程x?4x?4x?e?e?1
2??2，
解：特征方程??4??4?0，1,2故有基本解组e，te，
'''t对于方程x?4x?4x?e，因为??1不是特征根，故有形如x1(t)?Ae的特解，
1A?2t2t'''2t2， 将其代入x?4x?4x?e，得2Ae?e，解之得
'''x(t)?A的特解，
对于方程x?4x?4x?1，因为??0不是特征根，故有形如32t2tt1'''4，所以原方程的通解为 将其代入x?4x?4x?1，得
11x(t)?e2t(c1?c2t)?et?t2e2t?24
'4、 试求方程组x?Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中
A???21?A????12????
解：p(?)?det(?E?A)?0，?1?3，?2??3，均为单根，
???v1???(2?3)???v(?E?A)v?0???,??0 1设1对应的特征向量为1，则由1，得
?1??1????v1??v?2?2?3???2?3?????， 1取，同理可得对应的特征向量为
3t?3t?(t)?ev?(t)?ev2，均为方程组的解，令?(t)?(?1(t),?2(t))， 112则，
11w(0)?det?(0)???3?02?32?3又，
3t?e??(2?3)e?(t)所以即为所求基解矩阵?3t???3t?(2?3)r?。
e?3t?dx?dt?x?y?1?dy??x?y?55、 求解方程组?dt的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。 ?x?y?1?0?x?2??x?y?5?0解：令?，得?y??3，即奇点为（2，-3）
?dX?dt?X?Y?dY?X?x?2??X?Y?Y?y?3令?，代入原方程组得?dt，
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11??1?1??2?0??2?2?0因为1?1，又由?1??1，
解得?1?2，?2??2为两个相异的实根， 所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。
dy?x?y26、 求方程dx经过（0，0）的第二次近似解。
?(x)?0， 解：0x?1(x)?0??f(x,0)dx?x20x12，
?2(x)?0??f(x,x2)dx?x2?0121215x20。
三、证明（10分）
假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组
'mt x?Ax?ce 有一解形如
mt?(t)?pe
p其中c，是常数向量。
mt?(t)?pe证：设方程有形如的解，则p是可以确定出来的。 mtmtmtmtmpe?Ape?cepe事实上，将代入方程得，
因为emt?0，所以mp?Ape?c，
(mE?A)P?c （1）
又m不是矩阵A的特征值，det(mE?A)?0
?1?1(mE?A)p?(mE?A)c存在。 所以存在，于是由（1）得?1mtmt?(t)?(mE?A)ce?pe故方程有一解
常微分方程期终试卷(11)
一．填空 1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。 3．若?（x）为毕卡逼近序列
。
??n(x)??的极限，则有
?（x）—?n(x)?
4．若i（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。
5．若i（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。
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x(t)x(t)6．如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在 a?t?b上满足 时，方程组xˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t0）=?的解在a?t?b上存在唯一。 7．若?（t）和?（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩阵，则?（t）与?（t）具有关系：
。 8．若?（t）是常系数线性方程组x??的解
Ax的 基解矩阵,则该方程满足初始条件?(t0)??x*,y*?(t)=_____________________
9.满足 _________________________________________的点（），称为方程组的奇点。
10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。 二．计算题（60分）
3ydx?(x?y)dy?0 1．
dy3dy)?4xy?8y2?0dx2．dx
dy?x?y23．求方程dx经过（0，0）的第三次近似解
(
4．x???x?sint
?cos2t
??1??21?A???(t),?(0)????????14??试求方程组x??Ax的解?2?并求expAt 5．若
dxdy??x?y?1,?x?y?5dt6.求dt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三.证明题(10分)
设
的积分因子. 一. 填空
?ff(x,y)及?y连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x
答案
dy?p(x)y?Q(x)?p(x)dx(Q(x)e??p(x)dxdx?c)??p(x)dxe?1. dx e
nn?1MLhdy2?p(x)y?Q(x)y?R(x)y?y?z 3.(n?1)!
2. dx
4.
w??a1(t)w?0 5.
x(t)??cixi(t)?x(t)i?1n 6． A(t) f(t)连续
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