分量变量，积分，通解为 原方程通解为
u?Cx?1
2y?Cx?x
4．解 齐次方程的通解为 y?Cx
令非齐次方程的特解为 y?C(x)x 代入原方程，确定出 原方程的通解为
C(x)?lnx?C
xlnx y?Cx+
?M1?N???yx?x，所以原方程是全微分方程 5．解 因为
(x,y)?(1,0)，原方程的通积分为
取00 1三、求下列方程的通解或通积分
?xyy1dx??y3dy?Cylnx?y4?C0x4即
1．解 当y?1时，分离变量得
ydy?xdx2 1?y
等式两端积分得
y?1?y2dy??xdx?C1
11ln1?y2?x2?C12 2
?2C12?x1?y?Ce,C??e
2 方程的通积分为 y?1?Ce2?x2
dudx，代入原方程，得 2．解 令y?xu，则
duduu?x?u?u2x??u2dx ，dx
当u?0时，分离变量，再积分，得
dudx???C2??xu
11u??lnx?Clnx?Cuy??u?x
，
y?即通积分为：
3．解 齐次方程的通解为
xlnx?C
21 / 66
y?Ce 令非齐次方程的特解为 y?C(x)e 代入原方程，确定出 原方程的通解为 y?Ce四．证明
?3x?3x?3x
C(x)?15xe?C5
12xe+5
1.证明 设y1(x)，y2(x)是方程的两个解，则它们在(??,??)上有定义，其朗斯基行列
式为
W(x)? 由已知条件，得
y1(x)?(x)y1y1(x0)?(x0)y1y2(x)?(x)y2
W(x0)?
y2(x0)0??(x0)y1?(x0)y20?(x0)y2?0
?2，使得 故这两个解是线性相关的． 由线性相关定义，存在不全为零的常数?1，?1y1(x)??2y2(x)?0， x?(??,??)
由于y1(x)?0，可知?2?0．否则，若?2?0，则有?1y1(x)?0，而y1(x)?0，则?1?0，这与y1(x)，y2(x)线性相关矛盾．故
y2(x)??在区间都是(??,??)．
2．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存 显然，该方程有零解y(x)?0． 假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点与x轴相切，即有
?1y1(x)?Cy1(x)?2
x0处
?(x0)y1(x0)?y1= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解y(x)?0可知
?(x0)y1(x)?0,x?(??,??)，这是因为零解也满足初值条件y1(x0)?y1= 0，于是由解
的惟一性，有y1(x)?y(x)?0,x?(??,??)．这与y1(x)是非零解矛盾．
常微分方程期终试卷(8) 一、 填空（每空3分） 1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2、函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 。
2n3、若1为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件
是 。
x(t),x(t),?,x(t)22 / 66
4、形如 的方程称为欧拉方程。
5、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系： 。
6、若向量函数g(t;y)在域R上 ，则方程组
dy?g(t;y),?(t0;t0,y0)?y0dt的解?存在且惟一。
7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。
二、 求下列方程的解
1、
(y?3x2)dx?(4y?x)dy?0 （6分） 2、
ydx?xdy?(x2?y2)dx （8分） 3、 y2(y'?1)?(2?y')2 （8分）
dy?yx?exy4、 dx （8分）
5、 x''?6x'?5x?e2t （6分）
x''?x?16、
sin3t （8分）
x''?17、
2x' （8分）
三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）
dxdt?2x?7y?19,dydt?x?2y?5
答案
一、 填空（每空4分）
dy1、 形dx?P(x)y?Q(x)(x)dx如
的方程，
e??Py?e?P(x)dx(?Q(x)e??P(x)dxdx?c)
2、 存
在常数
L?0，使得
?(x1,y1),(x2,y2)?R，f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2
3、 w?x1(t),x2(t),?xn(t)??0
4、 xndnyn?1ydxn?a1xn?1ddxn?1???adyn?1xdx?any?0 5、 ?(t)??(t)C （C为非奇异方程）
6、 连续且关于y满足利普希兹条件
7、
等于零，稳定中心
二、 求下列方程的解
1、（6分） 解：
?3x2dx?(ydx?xdy)?4ydy?0 23 / 66
，
有
d(?x3)?dxy?d(2y2)?0
32故方程的通解为?x?xy?2y?c
2?ydx?xdy??x??????1?dx??22yy?????? 2、（8分）解：两边除以y：
??x?2?xd????y???1?dx????? y?xdy
?dx2
?x???y???1
变量分离： ??
arctg两边积分：
x?x?cy
x?tg(x?c)y即：
3、（8分）解：令2?y'?yt,则y'?2?yt
于是 y(2?yt?1)?(yt)
221?t2y?t 得
22y'?2?yt?2?(1?t)?1?t dy?1?t2 即 dx
1?t2?t2?1d2dy1ttdx???dt??dt22221?t1?t1?tt
1x??ct 两边积分
1?x??c??t?21?t?y??t 于是，通解为?dyxexy?yxy?e?xy?dxx4、（8分）解：
xdy?(xexy?y)dx xdy?ydx?xexydx dxy?xexydx dxy?xdxxye
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积分：
?e?xy?12x?c2
12x?e?xy?c?0故通解为：2
25、（6分）解：齐线性方程x''?6x'?5x?0的特征方程为??6??5?0，
?1??1,?2??5，故通解为x(t)?c1e?t?c2e?5t
??2不是特征根，所以方程有形如x(t)?Ae
2t2t2t2t把x(t)代回原方程 4Ae?12Ae?5Ae?e
于是原方程通解为
2tA?121
12te21
x(t)?c1e?t?c2e?5t?26、（8分）解：齐线性方程的特征方程为??1?0，解得???i
于是齐线性方程通解为x(t)?c1cost?c2sint 令x(t)?c1(t)cost?c2(t)sint为原方程的解，则
?c1'(t)cost?c2'(t)sint?0???c'(t)sint?c'(t)cost?112?sin3t ?1costc1'(t)??c'(t)?22sintsin3t 得，
11c2(t)???r22c(t)?ctgt?r2sint1积分得；1
11cos2t?r2sintx(t)??r1cost?2sintsint故通解为
dyx''?ydx 7、（8分）解：x'?y则
dy1?3??y??x?c??2?， 从而方程可化为 dx2y，
y13?3?x'??x?c??2? ?3?y??x?c??2? 积分得
三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）
1313?2x?7y?19?0?x?1??x?2y?5?0?解：解方程组，解得?y?3
所以（1，3）为奇点。 令X?x?1,Y?y?3
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