8.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）
x2y22??1(a?2)的离心率为【文科】已知椭圆，双曲线C与已知椭圆有相同的aa2焦点，其两条渐近线与以点(0,2)为圆心，1为半径的圆相切。
（I）求双曲线C的方程；
（II）设直线y?mx?1与双曲线C的左支交于两点A、B，另一直线l经过点M(?2,0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。
【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为： F1(?c,0),F2(c,0),c?0
ca2?22?由已知?，
aa2得a?2,c?2， ……………2分
设双曲线C的渐近线方程为y?kx，
依题意，k?0?2k?12?1，解得k??1．
∴双曲线C的两条渐近线方程为y??x．
故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a1，则2a1?c?2，得a1?1， ∴双曲线C的方程为x?y?1 ……………６分.
22222?y?mx?1得(1?m2)x2?2mx?2?0 （II）由?22?x?y?1，
直线与双曲线左支交于两点，
?1?m2?0????0?因此?2m?02?1?m??2?0?2?1?m又AB中点为(解得1?m?2 ………………..９分
m1,)
1?m21?m21(x?2)， 2?2m?m?22，
1217?2(m?)?48∴直线l的方程为y?令x=0，得b?2?2?2m?m?2∵m?(1,2) ∴?2(m?)?14217?(?2?2,1) 8∴故b的取值范围是(??,?2?2)?(2,??)． ………………12分．
9.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（文）22.】 (本小题满分14分)设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1?1，公比q?f(?)?(Ⅰ)证明：Sn?(1??)??an；
?1??(???1,0).
1*，bn?f(bn?1)(n?N,n?2)，求数列{bn}的通项公式； 21(Ⅲ)若??1，记cn?an(?1数列{cn}的前项和为Tn，求证：当n?2时，2?Tn?4. )，
bn(Ⅱ)若数列{bn}满足b1? 【
(Ⅰ)
解析】：
a1[1?()n]a(1?q)?n?n?11??Sn?1??(1??)[1?()]?(1??)??()?1?q1??1??1?1??n?
……2分
而an?a1(分 所以
)n?1?()n?1 ……………………………………………31??1????Sn?(1??)??an …………………………………………4分
(Ⅱ)f(?)?分
?1??,?bn?bn?111,???1, ……………………………6
1?bn?1bnbn?111?{}是首项为?2,公差为1的等差数列,
bnb111?2?(n?1)?n?1,即bn?. ………………………………8bnn?1分 (Ⅲ)
??1时, an?()n?1, ?cn?an(1211?1)?n()n?1 …………………………9分 bn2111?Tn?1?2()?3()2???n()n?1
22211111?Tn??2()2?3()3???n()n 2222211121n?11n1n1相减得?Tn?1?()?()???()?n()?2[1?（）]?n()n
222222211?Tn?4?()n?2?n()n?1?4, …………………………12
22分
12故当n?2时, 2?Tn?4. ……………………………………………………14分
又因为cn?n()n?1?0,?Tn单调递增, ?Tn?T2?2,
10.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（理）24.】如右图（1）所示，定义在区间D上的函数f(x)，如果满足：对?x?D，?常数A，都有f(x)?A成立，则称函数．．f(x)在．区间，其中A称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数A、B可以是正．．D上有下界．．．．．．．．．数，也可以是负数或零） （Ⅰ）试判断函数f(x)?x?348在(0,??)上是否有下界？并说明理由； x（Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间D上有上界.
请你类比函数有下界的定义，给出函数f(x)在区间D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）
中的函数在(??,0)上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f(x)在区间D上既有上界又有下界，则称函数f(x)在区间D上有界，函数f(x)叫做有界函数．试探究函数f(x)?ax?3b （a?0,b?0a,b是常数）是否是x[m,n]（m?0,n?0,m、n是常数）上的有界函数？
【解析】：24．（I）解法1：∵f?(x)?3x?248482?，由得f(x)?03x??0， 22xxx4?16, ∵x?(0,??)， ∴x?2，-----------------2分
∵当0?x?2时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（0，2）上是减函数； 当x?2时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（2，＋?）上是增函数； ∴x?2是函数的在区间（0，＋?）上的最小值点，f(x)min?f(2)?8?∴对?x?(0,??)，都有f(x)?32，------------------------------------4分
即在区间（0，＋?）上存在常数A=32,使得对?x?(0,??)都有f(x)?A成立， ∴函数f(x)?x3?48?32 248在（0，＋?）上有下界. ---------------------5分 x3[解法2：?x?0?f(x)?x?当且仅当x?348161616161616?x3????44x3????32 xxxxxxx16即x?2时“＝”成立 x∴对?x?(0,??)，都有f(x)?32，
即在区间（0，＋?）上存在常数A=32,使得对?x?(0,??)都有f(x)?A成立， ∴函数f(x)?x?348在（0，＋?）上有下界.] x（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数f(x)，如果满足：对?x?D，?常数B，都有f(x)≤B成立，则称函数f(x)在D上有上界，其中B称为函数的上界. -----7分
设x?0,则?x?0，由（1）知，对?x?(0,??)，都有f(x)?32， ∴f(?x)?32，∵函数f(x)?x?∴?f(x)?32，∴f(x)??32
即存在常数B=－32，对?x?(??,0)，都有f(x)?B,
348为奇函数，∴f(?x)??f(x) x48在（－?， 0）上有上界. ---------9分 xb2（III）∵f?(x)?3ax?2，
xb2由f?(x)?0得3ax?2?0，∵a?0,b?0
x∴函数f(x)?x?3∴x?4bb，----------10分 , ∵ [m,n]?(0,??)， ∴x?43a3a