18.【2009年安庆市高三模拟考试（二模）（文）22.】 （本小题满分13分）如
图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0)，L交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
?a?2b2?x2y2??a?8解得?2【解析】：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),则?4. 1??1ab???b?2?a2b2,x2y2∴椭圆方程为??1 ……………………4分
82（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m, 又KOM=
1, 21?y?x?m?1?2 ?l的方程为：y?x?m，联立方程有?222?x?y?1,?2?8?x2?2mx?2m2?4?0， ∵直线l与椭圆交于A．B两个不同点， ???(2m)2?4(2m2?4)?0,解得?2?m?2,且m?0 …………8分
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1?x2??2m,x1x2?2m?4， 则k1?2y1?1y?122,k2?2 由x?2mx?2m?4?0可得 x1?2x2?2x1?x2??2m,x1x2?2m2?4
而k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)?? x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)2 ?2(x1?2)(x2?2)x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)??
(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)2m2?4?2m2?4m?4m?4??0?k1?k2?0
(x1?2)(x2?2)故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. ……………………13分
19.【2009届重庆市南开中学高三总复习检测题（六）】已知数列(
an)与{
bn)有如下关系：
a1?2,an?1?a?111(an?),bn?n.2anan?1 bn}的通项公式。
(1)求数列(
(2)设
Sn是数列{
an}的前n项和，当n≥2时，求证
Sn?n?43：
【解析】：（1）?b1?a1?1?3a1?1
2bn?1??an?1?a?12??n?1?????b?0n??an?1?11?1??an?1???a??1n2?an???
2221?1???a??1n??2?an??bn?bn?1?bn?2?bn?323???b12n?1?32n?1 （4分）
（2）?当n≥2时，
an?1?1?an?132n?1?1?1?an?1?10,（当且仅当n?2时取等号）且
a2?1?1?5?a1???2?a1?4
1?a2?1?101a4?1??a3?1?10?a3?1?故
an?1?1?an?1?1?10
Sn?a1?a2??n?2??1?S?a1??n?2??10n?1
以上式子累和得
?10Sn?65?10?n?2??Sn?an?2?n?22
n?12532?19Sn??9n?2n?123?1 ??2532?125123Sn??n???n???n2n?1181891893?1n?1??24＜18+n
?Sn?4?n3（n?2）得证.
20.【2009届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.】（本小题满分13分） 已知函数f(x)?ax3?x2?cx?d(a,c,d?R)满足f(0)?0,
f'(1)?0,且f'(x)?0在R上恒成立.
1314 （1）求a,c,d的值；
（2）若h(x)?x2?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0;
（3）是否存在实数m，使函数g(x)?f'(x)?mx在区间[m,m?2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
【解析】：（1）?f(0)?0,?d?0
34b21411x?c及f'(1)?0,有a?c? 221?f'(x)?0在R上恒成立,即ax2?x?c?0恒成立
2112即ax?x??a?0恒成立
22显然a?0时，上式不能恒成立
11?a?0,函数f?(x)?ax2?x??a是二次函数
22?f'(x)?ax2?由于对一切x?R,都有f?(x)?0,于是由二次函数的性质可得
?a?0,? ?121(?)?4a(?a)?0.?2?2