∵当0?x?4bb时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（0，4）上是减函数； 3a3a当x?4bb时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（4，＋?）上是增函数； 3a3ab是函数的在区间（0，＋?）上的最小值点， 3a∴x?4 f(4bb3b4)?a(4)??43ab3---------------------11分 3a3a3b43a4①当m?b时，函数f(x)在[m,n]上是增函数； 3a∴f(m)?f(x)?f(n)
∵m、n是常数，∴f(m)、f(n)都是常数 令f(m)?A,f(n)?B,
∴对?x?[m,n]，?常数A,B,都有A?f(x)?B 即函数f(x)?ax?3b在[m,n]上既有上界又有下界-------------------------12分 x②当 n?4b 时函数f(x)在[m,n]上是减函数 3a∴对?x?[m,n]都有f(n)?f(x)?f(m) ∴函数f(x)?ax?3b在[m,n]上有界.-------------------------13分 x③当m?4b?n时，函数f(x)在[m,n]上有最小值 3af(x)min＝f(4bb3b4)?a(4)??43ab3 3a3a3b43a令A?443ab3,令B=f(m)、f(n)中的最大者 3则对?x?[m,n]，?常数A,B,都有A?f(x)?B
b在[m,n]上有界. xb综上可知函数f(x)?ax3?是[m,n]上的有界函数--------------14分
x∴函数f(x)?ax3?11.【东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中2009年四校第一次高考模拟联考（理）22．】
y2（本小题满分12分）如图，已知双曲线x?=1的两个焦点为F1，F2，两个顶点为A1，
32,且PF1?PF2?0,PA1?PA2?0. A2，点P(0,b)是y轴正半轴上一点 （I）求实数b的取值范围；
（II）直线PF1，PF2分别与双曲线各交于两点，求以这四个交点为顶点的四边形的面积
S的取值范围。
【解析】：（1）A1（-1，0），A2（1，0），F1（-2，0），F2（2，0）
?PF1?PF2?0,即(?2,?b),(2,?b)?0,?b2?4 ?PA1?PA2?0,即(?1,?b)?(1,?b)?0,?b2?1
?1?b2?4,?1?b?2…………4分
（II）设PF1:y?
b(x?2) 2直线PF1与双曲线交于A(x1,y1),C(x2,y2)不妨设x1?x2且y1?y2 直线PF2与双曲线交于B(x3,y3),D(x4,y4)
b?y?(x?2)??(12?b2)x2?4b2x?4(b2?3)?0 2??3x2?y2?3?令??0?b?4?0
2
4b2 ?x1?x2?212?b?4(b2?3)…………6分 x1?x2?12?b2
?1?b?2,?而k渐近线?1b?kPF1??1, 223?kPF1?k渐近线
?直线PF1与双曲线交于两支上的两点，同理直线PF2与双曲线交于两支上的两点 1则SABCD?(2x2?2x1)(y2?y1)…………8分
2bbb?(x2?x1)(x2?x1)?(x2?x1)2?[(x1?x2)2?4x1x2]
222b4b2216(b2?3)72(b3?4b)?[()?]?…………10分 2222212?b12?b(12?b)b3?4bb4?48b2?48,则f?(b)??0, 令f(b)?(12?b2)2(12?b2)3
?f(b)在(1,2)递增
51,f(2)? 1214360 ?S?(,18)…………12分
121又f(1)?12.【安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考（理）22】（本小题14分）
设函数f(x)?x?a(x?1)ln(x?1),(x??1,a?0) （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当a?1时，若方程f(x)?t在[?,1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m>n>0时，(1?m)n?(1?n)m。
【解析】：22、（Ⅰ）f(x)?1?aln(x?1)?a
①a?0时，f(x)?0 ∴f(x)在（—1，+?）上市增函数 ②当a?0时，f(x)在(?1,e1?aa//12?1]上递增，在[e1?aa?1,??)单调递减
1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减 21111又f(0)?0,f(1)?1?ln4,f(?)???ln2 ∴f(1)?f(?)?0
222211∴当t?[?,?ln2,0)时，方程f(x)?t有两解
22（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?（Ⅲ）要证：(1?m)?(1?n)只需证nln(1?m)?mln(1?n), 只需证
nmln(1?m)ln(1?n) ?mnx?ln(1?x)ln(1?x)x?ln(1?x)设g(x)? ,(x?0)， 则g/(x)?1?x2?2xxx(1?x)由（Ⅰ）知x?(1?x)ln(1?x)??在(0,??)单调递减 ∴x?(1?x)ln(1?x)?0，即g(x)是减函数，而m>n ∴g(m)?g(n)，故原不等式成立。