13.【安徽省合肥七中2009届高三第五次月考（理）22．】 (本小题满分14分) 椭圆x2y2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为ab2F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于
A、B两点.
（1）如果点A在圆x2?y2?c2（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆
的离心率；
（2）若函数y?2?logmx(m?0且m?1)的图象，无论m为何值时恒过定
点（b，a）， 求F2A?F2B的取值范围。
【解析】：（1）∵点A在圆x?y?c上,??AF1F2为一直角三角形，
222?|F1A|?c,|F1F2|?2c?|F2A|?|F1F2|2?|AF1|2?3c
由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，
?c?3c?2a?e?c2??3?1 a1?3 （2）∵函数y?∴a?
2?logmx的图象恒过点(1,2)
2,b?1,c?1,
点F1（－1，0），F2（1，0）， ①若AB?x轴,则A(?1,22),B(?1,?)， 22
????????????2????2????17),F2B?(?2,?),F2A?F2B?4?? ∴F2A?(?2,2222②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1） 由??y?k(x?1)2222消去y得(1?2k)x?4kx?2(k?1)?0…………（*） 22?x?2y?2?0
???8k2?8?0,?方程（*）有两个不同的实根.
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根
4k22(k2?1) x1?x2??,x1x2?1?2k21?2k2F2A?(x1?1,y1),F2B?(x2?1,y2),
F2A?F2B?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(1?k2)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?1?k2
2(k2?1)4k27k2?17922?(1?k)?(k?1)(?)?1?k??? 222222(1?2k)1?2k1?2k1?2k2?1?2k2?1,?0?
199?1,0??1?2k22(1?2k2)2
797?1?F2A?F2B???,22(1?2k2)2
由①②知?1?F2A?F2B?7 214.【2009年天津市高三年级能力测试（河东卷.理）22. 】（本小题满分14分）如图，
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m?0)，l交椭圆于A、B两个不同点 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
x2y2【解析】：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)
ab?a?2b2?x2y2?a?8???1 则?4解得?2所以椭圆方程182??1??b?2??a2b2（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM?11，所以l的方程为：y?x?m 221?y?x?m??222由?2?x?2mx?2m?4?0 2?x?y?1?2?8因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
???(2m)2?4(2m2?4)?0,
所以m的取值范围是?m|?2?m?2,m?0?。
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2，只要证明k1?k2?0即可 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则k1?22y1?1y?1,k2?2 x1?2x2?2由x?2mx?2m?4?0 可得x1?x2??2m,x1x2?2m?4 而k1?k2?2y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)?? x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)2 ?2(x1?2)(x2?2)?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)
(x1?2)(x2?2)2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)??0
(x1?2)(x2?2)?k1?k2?0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
15.【2009年上海市普通高等学校春季招生考试20.】
设函数
fn(?)?sinn??(?1)ncons?,0????4，其中n为正整数.
（1）判断函数f1(?)、论；
（2）证明：2f6(?)?f3(?)的单调性，并就f1(?)的情形证明你的结
f4(?)?cos4??sin4????cos2??sin2??；
（3）对于任意给定的正整数n，求函数fn(?)的最大值和最小值.
???【解析】（1）f1(?)、f3(?)在?0,?上均为单调递增的函数. …… 2分 4????? 对于函数f1(?)?sin??cos?，设 ?1??2,?1、?2??0,，则
4??? f1(?1)?f1(?2)??sin?1?sin?2???co?s2?co?s1?， ? ?sin?1?sin?2,co?s2?co?s1， f1??1??f1??2?,????函数f1(?)在?0,上单调递增. …… 4分 ?4??（2）? 原式左边
???? ?2?sin??cos???sin??sin??cos??cos????sin??cos??
64??co6s??sin??co4s? ?2sin2242244422 ?1?sin2??cos2?. …… 6分
又?原式右边?cos2??sin2???2?cos22?.
? 2f6(?)?f4(?)?cos4??sin4????cos2??sin2?. …… 8分
????（3）当n?1时，函数f1(?)在?0,上单调递增，
4?????? ? f1(?)的最大值为f1???0，最小值为f1?0???1.
?4?