当n?2时，f2????1，? 函数f2(?)的最大、最小值均为1.
??? 当n?3时，函数f3(?)在?0,?上为单调递增. 4????? ? f3(?)的最大值为f3???0，最小值为f3?0???1.
?4? 当n?4时，函数f4(?)?1?12???上单调递减， sin2?在?0,?42?????1 ? f4(?)的最大值为f4?0??1，最小值为f4???. …… 11分
?4?2 下面讨论正整数n?5的情形：
??? 当n为奇数时，对任意?1、?2??0,?且?1??2,4??
? fn(?1)?fn(?2)?sinn?1?sinn?2?cosn?2?cosn?1， 以及 0?sin?1?sin?2?1,0?cos?2?cos?1?1，
? sinn?1?sinn?2,cosn?2?cosn?1，从而 fn(?1)?fn(?2).
??????? ? fn(?)在?0,上为单调递增，则
4?????? fn(?)的最大值为fn???0，最小值为f4?0???1. …… 14分
?4? 当n为偶数时，一方面有 fn(?)?sinn??cosn??sin2??cos2??1?fn(0). 另一方面，由于对任意正整数l?2，有
2l?22l?2??sin? 2f2l(?)?f2l?2(?)?cos???cos??sin???0，
22 ?fn(?)?111???fn?2(?)???nf2(?)?n?fn??. 2?1?1?4?2222n????1?? 函数fn(?)的最大值为fn(0)?1，最小值为fn???2??.
?4??2? 综上所述，当n为奇数时，函数fn(?)的最大值为0，最小值为?1.
?1? 当n为偶数时，函数fn(?)的最大值为1，最小值为2??. …… 18分
?2?n16.【2009年高考桂林市、崇左市、贺州市、防城港市联合调研考试(文)22.】（本小题满分12分）
已知点R(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且
满足2PM??MQ?0,RP?PM?0.
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A(x1,y1)、B(x2,y2)为轨迹C上两点，且x1>1, y1>0,N(1,0)，求实数?， 使AB??AN，且AB?
【解析】：解：（Ⅰ）设点M(x,y)，由2PM?3MQ?0得P(0,?),Q(,0). …………2分
由RP?PM?0,得(3,?)?(x,16. 3y2x3y23y)?0，即y2?4x. …………… 4分 2 又点Q在x轴的正半轴上，∴x?0.故点M的轨迹C的方程是
y2?4x(x?0). …………………………………………………………6分
（Ⅱ）由题意可知N为抛物线C：y?4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物
线C的两个交点,所以直线AB的斜率不为0. ……………………………………7分 当直线AB斜率不存在时，得A(1,2),B(1,?2),AB?4?216，不合题意； ……8分 32 当直线AB斜率存在且不为0时，设lAB:y?k(x?1)，代入y?4x得 kx?2(k?2)x?k?0，
22222(k2?2)4162?2?4?? 则AB?x1?x2?2?，解得k?3. …………10分 223kk 代入原方程得3x?10x?3?0，由于x1?1，所以x1?3,x2? 得??21，由AB??AN, 3x2?x144?，∴??. ……………………………………………………12分
1?x13317.【东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数学(理)22.】 (本小题满分12分) 已知O为坐标原点，点A、且AB?8，B分别在x轴、y轴上运动，
????3????动点P满足AP?PB，设点P的轨迹为曲线C，定点M(4,0)，直线PM5交曲线C于另外一点Q． (1)求曲线C的方程； (2)求?OPQ面积的最大值．
【解析】：本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综
合解题能力。
解：(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y)，则AP?(x?a,y),PB?(?x,b?y)
3?x?a??x?3885 ∵AP?PB,∴?，∴a?x,b?y，
3553?y?(b?y)5?x2y2又AB?a?b?8，∴??1
25922x2y2∴曲线C的方程为??1
259x2y2(2)由(1)可知，M (4，0)为椭圆??1的右焦点，设直线PM方程为
259?x2y2?x?my?4，由?25?9?1消去x得，(9m2?25)y2?72my?81?0，
??x?my?4∴yP?yQ?(72m)2?4?(9m2?25)?819m2?2590m2?1? 9m2?25∴S?OPQ190m2?120m2?1?OMyP?yQ?2??
2529m2?25m2?920m2?1?169m2?1?2015?， 82320m2?1? ?16m2?1?9当m?1?2169m2?1，即m??7时取得最大值， 3此时直线方程为3x?7y?12?0.