说明：方法不惟一，图例仅供参考。 北 京 四 中
编 审：谷 丹 校 对：辛文升 责 编：张 杨 有理数之一： 正数与负数及数轴。
本章是在小学学过的算术数的基础上引进了负数，从而使数域扩大到了有理数；并由此引出数轴，相反数，绝对值等概念以及有理数的运算法则。随着知识的不断深入，初二时我们的数域将扩大到实数，到了高中还会学习复数。这一章以及第一章是为我们以后的数学学习打下的基础，我们务必认真学好这一章的知识。 一、本讲的重点，难点和关键
重点：有理数特别是负数的意义以及数轴的意义。
难点：了解有理数特别是负数的意义；利用数轴进一步理解有理数的意义。 关键：利用数轴建立起来的数与形统一的观点。 二、知识要点：
1．在小学学过的算术数包括正整数，正分数和0的基础上，由实际生活中具有相反意义的量，如温度有零上，零下之分；帐目有收入，支出之分；买卖有盈亏之分等等。我们把这样具有相反意义的量分别用不同符号记号，以示区别，如当零上15°C记作+15°C，则零下5°C记作-5°C；收入20元记作+20元，则支出20元记作-20元等等。在这里，―+‖号读作―正‖号，―+20‖读作―正20‖；―-‖号读作―负号‖，―-10‖读作―负10‖。这样引入了负数和正数，由此建立了有理数的概念。正数前面的―+‖号常省略不写，如+12可写成12。 整数：正整数，0和负整数统称为整数；如5，0，-3等等。 分数：正分数，负分数统称为分数。如，，-3等等。 有理数：整数和分数统称为有理数。
2．有理数的分类我们要弄清楚；其分类如下：
或
3．零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。
4．数轴的意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素是：原点，正方向和单位长度，三者缺一不可。我们必须能正确，规范地画出数轴。
对于给出的有理数，我们应能以刻度尺为工具，准确地在数轴上画出表示这些数的点，表示指定数的点要用笔涂
成小圆黑点。比如给出-5，-4，0，0.5, 3等，能画一条数轴，并在数轴上面标出表示它们的点，如图：
反之，对于一条数轴上标出的点能说出它们表示的数。比如，指出下列图中A，B，C，D，E各点分别表示的有理数：
6
答：点A表示-3，点B表示-1，点C表示2，点D表示3，点E表示4。
5．数轴的建立使任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点，有的也可以表示有理数，而点是最基本的几何图形，从而就建立了数与几何图形之间的关系，我们称其为―数形结合‖。从而使有理数的大小直观化：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数。
我们应该知道：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点并不都表示有理数，有的点还表示无理数，这个数轴也叫做―实数轴‖，这些我们将在初二时学到。 三、例题：
例1．把下列各数分别填在相应的大括号内：25,-6,-0.91, p, 3.14,-7, 0, -50, (1) 整数集合：{25, -7, 0, -50, 9 ......} (2) 分数集合：{-6, -0.91, 3.14, (3) 正整数集合：{25, 9 ......} (4) 负整数集合：{-7, -50 ......} (5) 正分数集合：{3.14,
......}
......}
, 9.
(6) 负分数集合：{-6, -0.91 ......} (7) 正有理数集合：{25, 3.14,
, 9 ......}
(8) 负有理数集合：{-6, -0.91, -7, -50 ......} (9) 有理数集合：{25, -6, -0.91, 3.14, -7, 0, -50,
, 9 ...... }
注意：整数都可以看作是分母为1的分数，因此有理数一定能写成分数的形式，而p是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以p不是有理数，p是无理数。 例2．判断正误，并说明理由。 （1）所有正数都是整数。
（2）在整数中除了正整数就是负整数。 （3）分数是有理数。 （4）正整数都是自然数。 （5）任何有理数都有倒数。 答：
（1）不正确。因为正分数是正数但不是整数。如是正分数，但它不是整数。
（2）不正确。因为零是整数，但它既不是正整数也不是负整数。 （3）正确。因为整数和分数统称为有理数。 （4）正确。
（5）不正确。因为零不能做除数，故有理数零没有倒数。 例3．下列各图中，哪些是数轴？为什么？
7
答：只有（3）是数轴。因为它是具有三要素：正方向，原点，单位长度的直线。 （1）不是数轴。因为它是曲线，不是直线。 （2）不是数轴。因为它没有长度单位。 （4）不是数轴。因为它是线段，不是直线。 （5）不是数轴。因为它的方向反了。 （6）不是数轴。因为它没有规定正方向。
和
的大小。
例4．比较
说明：比较两个数的大小是初中数学中重要内容之一，在前面我们已经谈到可以利用数轴来比较大小，但这不是唯一的方法。下面我们来研究另外的比较两个正数的大小的常用方法。
解：方法一：利用两数的差来判断，即两数a和b，若a-b>0,，则a>b；若a-b=0, 则a=b; 若 a-b<0, 则a -> =. = >0. 方法二：利用通分化为同分母分数，再比较分子的大小来判定。 ∵ ∴ => ， . >1,则a>b；若 <1, 则a = ，且 180 >169. （*）方法三：利用两数的比，看比值大于1还是小于1来判断，即若 ∵ ∴ ：> =. ·=>1, 例5．当x分别为3，7，10时，比较5x-35与0的大小。 解：当x=3时，5x-35=5×3-35=15-35=-20<0, ∴ 当x=3时, 5x-35<0, 当x=7时, 5x-35=5×7-35=35-35=0, ∴ 当x=7时, 5x-35=0, 当x=10时, 5x-35=50-35=15>0, ∴ 当x=10时，5x-35>0. 说明：通过此题我们应进一步理解当代数式5x-35中的字母x取不同的值时，对应代数式的值也不同。 四、练习： （一）用正数，负数填空： （1）支出100元记作_______元，收入150元记作_______元。 （2）盈利800元记作_______元，亏损600元记作_______元。 （3）电梯上升5米记作_______米，下降3米记作_______米。 （4）王淼向东走5米，记作+5米，那么他走了_______米，则表示他向西走了8米。 （5）足球比赛胜2场记作_______场，负1场记作_______场。 （6）海拔_______米，相当于海面上高度100米，海拔_______米相当于海面下300米。 （二）判断正误： （1）所有的整数都是正数。 （ ） （2）正数和负数统称有理数。 （ ） （3）零不是正数，也不是负数，但是整数。 （ ） （4）没有最大的正整数，也没有最大的负整数。 （ ） 8 （5）在有理数中，不是正数的数一定是负数。 （ ） （6）任何一个有理数都可以在数轴上找到和它对应的点。 （ ） （7）数轴上任意一点都表示一个有理数. （ ） （8）-3>-2 （ ） >-100 （ ） （9） （10）a为有理数，则3a一定大于2a。 （ ） （三）填空： （1）正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是_______集合。 （2）既不是正数，也不是负数的数是_______；是正数而不是整数的数是_______。 （3）最大的负整数是_______，最小的正整数是_______。 （4）大于-3.1的负整数是_______，小于4.3的正整数是_______。 （5）大于-5而不大于2的所有的整数是_______。 （6）写出满足条件-3≤x<1.5的x的所有整数值_______。 （7）字母a表示一个有理数，则a可能是_______。 （8）当a=__________时，7-3(a-)2的值最大，这个值是_______。 （9）规定了_______，_______和_______的_______叫做数轴。 （10）比较大小：①____-20; ②-____ 0; ③ ___ ; ④-___ -. 练习参考答案： （一）用正数，负数填空： (1)-100; +150 (2) +800; -600 (3)+5; -3 (4)-8 (5)+2;-1 (6)+100; -300 （二）判断正误 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)× (9)√ (10)× （三）填空： （1）非零整数 （2）0；正分数 （3）-1；1 （4）-3，-2，-1； 1，2，3，4 （5）-4，-3，-2，-1，0，1，2 （6）-3，-2，-1，0，1 （7）正数，负数或0（注意：我们在考虑字母取值时一定要注意考虑周到，在没有其它约束条件时，应考虑一个字母可能表示正数，也可能表示负数，还可能表示零； （8）; 7 （9）正方向；原点；单位长度；直线 （10）①> ②< ③< ④<. 北 京 四 中 正数与负数 中考考点: 1．了解有理数的意义，会用正数与负数表示相反意义的量。 2．能按要求把给出的有理数归类。 考点讲解: 1．正数与负数的概念：（1）了解正数与负数是怎样产生的。数是随着生活实际的需要、生产发展的需要而产生的。比如一些具有相反意义的量，高于海平面800米与低于海平面500米，温度上升5℃和温度下降3℃等，用我们小学学过的数已不能很好地表达，若我们把一种意义规定为正的，另一种规定为负的，就能解决了这个问题，这就产生了新的数：正数和负数。（2）会判断一个数是正数还是负数，大于0的数是正数，也即是我们小学里学过的自然数和分数。在正数的前面加上―-‖号的数叫做负数。正数前面的―+‖号可以加上，也可省略不写。要注意，带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数，尤其是字母表示的数，在后面的内容里将看到这点。（3）会用正数和负数表示两个具有相反意义的量。（4）理解0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。 9 2．有理数有以下两种分类方法： （1）按整数分数关系分类 （2）按正数、负数与0的关系分类 考题例析: 1．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米，-15米和-10米，那么最高的地方比最低的地方高（ ）. （A）10米 （B）25米 （C）35米 （D）5米 考点：负数的应用，有理数的运算。 评析：根据负数与正数的实际应用，找出最高点与最低点的数值，再计算求出即可，故选（C）。 2．（湖南长沙）下表是我国四个城市某年一月份的平均气温．把它们按从高到低的顺序排列： ． 北京 -4.6℃ 长沙 3.8℃ 哈尔滨 -19.4℃ 南京 2.4℃ 考点：有理数大小的比较 评析：把表格内的数表示在数轴上，根据―右大左小‖的判断方法可以判定，所以该题从高到低的顺序应为3.8℃>2.4℃>-4.6℃>-19.4℃ 真题实战: 1．下列各数中，负数是（ ） A．(－3)0 B． C．(－3)2 D．3－2 答案：B 数 轴 考点分析: 1．了解数轴的概念和数轴的画法。 2．会以刻度尺为工具用数轴上的点表示整数或分数。 3．掌握用数轴比较有理数大小的方法，会用不等号连接两个或两个以上不同的有理数。 考点讲解: 1．数轴能够把我们所学过的数直观地、形象地表示出来，这是研究数学的一种―数形结合‖的重要方法。画数轴一般先取向右为正方向，原点和单位长度则由我们具体情况灵活选定它们位置和大小。规定了原点，正方向和单位长度的直线才叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。 2．数轴的应用（1）掌握数轴的画法，要求规范、美观。（2）能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。（3）会利用数轴比较有理数的大小，并理解和熟记有理数大小比较的法则：正数都大于０；负数都小于０；正数大于一切负数。这些是以后进一步学习其他知识的重要基础。 考题例析: 1．一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：―父母买全票，女儿按半价优惠‖．乙 旅行团告知：―家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的收费‖，若这两家旅行社每人的原票价相同，那么，优 惠条件是（ ） (A)甲比乙更优惠 （B）乙比甲更优惠 （C）甲与乙相同 （D）与原票价有关 考点：有理数大小的比较 10