当 f??1??f?1???a?1??a?5??0 即 1?a?5 时, y?f?x?也恰有一
个零点在??1,1?上;
当 y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则
a?0a?0?????8a2?24???8a2?24a?4?0a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a??3?5 2?3?5 ; 2因此a的取值范围是 a?1 或 a?
2008年全国统一考试（广东卷）理科全解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知0?a?2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（ C ）
5) A．(1，【解析】z?3) B．(1，，5) C．(1，3) D．(1a2?1，而0?a?2，即1?a2?1?5，?1?z?5
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?A．16
B．24
C．36
1，S4?20，则S6?（ D ） 2D．48
【解析】S4?2?6d?20，?d?3，故S6?3?15d?48 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12
一年级 二年级 三年级 y x 373 女生 z 377 370 男生
表1 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即
总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
64?2?16 8?2x?y≤40，??x?2y≤50，4．若变量x，y满足?则z?3x?2y的最大值是（ C ）
?x≥0，?y≥0，?A．90 B．80 C．70 D．40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C. 5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） H B A I C G
侧视 B D
F 图1
E
F 图2 A C B
E
A．
B． B
B B E D E
E C．
E D．
【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A．(?p)?q
B．p?q
C．(?p)?(?q)
D．(?p)?(?q)
【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(?p)?(?q) 为
真命题
7．设a?R，若函数y?e?3x，x?R有大于零的极值点，则（ B ） A．a??3
B．a??3
axax
C．a??
13D．a??
ax13【解析】f'(x)?3?ae，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f'(x)?3?ae正根。当有f'(x)?3?aeax?0有
13?0成立时,显然有a?0,此时x?ln(?)，由x?0我们
aa马上就能得到参数a的范围为a??3.
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
????????????CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?（ B ）
A．
11a?b 42B．
21a?b 33 C．
11a?b 24
D．a?132b 3【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC?1:2,然后利用向量的加减法则易得答案B.
开始 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题）
输入m，n 9．阅读图3的程序框图，若输入m?4，n?6，则输出a? ，i?
（注：框图中的赋值符号“?”也可以写成“?”或“:?”） 【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算， 而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍 数12，即此时有i?3。
10．已知(1?kx)（k是正整数）的展开式中，x的系数小于120， 则k? ．
【解析】(1?kx)按二项式定理展开的通项为Tr?1?C6(kx)?C6kx， 我们知道x的系数为C6k?15k，即15k?120，也即k?8， 而k是正整数，故k只能取1。
11．经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线 方程是 ．
【解析】易知点C为(?1,0)，而直线与x?y?0垂直，我们设待求的 直线的方程为y?x?b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的 值为b?1，故待求的直线的方程为x?y?1?0。
12．已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的最小正周期是 ． 【解析】f(x)?sinx?sinxcosx?226826r2rrr2r844444221?cos2x1?sin2x,此时可得函数的最小正周期22T?2???。 2二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为?cos??3，
??4cos???≥0，0≤???，则曲线C1与C2交点的极坐标为 ．
2???π????23??cos??3??(??0,0???)解得?【解析】我们通过联立解方程组?,即两曲线的交?2???4cos????6?点为(23,?6)。
1?a?0有实根，则414．（不等式选讲选做题）已知a?R，若关于x的方程x?x?a?2a的取值范围是 ．
【解析】方程即a?11?a??x2?x?[0,],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求44?1???解)可得实数a的取值范围为?0,?
415．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA?2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB?1，则圆O的半径R? ． 【解析】依题意，我们知道?PBA??PAC,由相似三角形的性质我们有
PAPB,即?2RABPA?AB2?22?12R???3。
2PB2?1三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
0???π)，x?R的最大值是1，其图像经过点已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，?π1?M?，?． ?32?（1）求f(x)的解析式；（2）已知?，???0，?，且f(?)?的值．
??π?2?312，f(?)?，求f(???)513sin(x)??，【解析】（1）依题意有A?1，则f(x)?将点M(?1?1,)代入得sin(??)?，3232而0????，??5??????，???，故f(x)?sin(x?)?cosx；
2362意
有
（2）依题
312cos??,cos??513，而
?,??(0，,2?)34125?sin??1?()2?,sin??1?()2?，
5513133124556f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin??????。
5135136517．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为?． （1）求?的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即?的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【解析】?的所有可能取值有6，2，1，-2；P(??6)?12650?0.63，P(??2)??0.25 200200P(??1)?204?0.1，P(???2)??0.02 200200故?的分布列为：
? P
6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02 （2）E??6?0.63?2?0.25?1?0.1?(?2)?0.02?4.34 （3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)?6?0.7?2?(1?0.7?0.01?x)?(?2)?0.01?4.76?x(0?x?0.29)
依题意，E(x)?4.73，即4.76?x?4.73，解得x?0.03 所以三等品率最多为3% 18．（本小题满分14分）
x2y22设b?0，椭圆方程为2?2?1，抛物线方程为x?8(y?b)．如图4所示，过点
2bbF(0，b?2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切
线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
y 【解析】（1）由x?8(y?b)得y?212x?b， 81x，y'|x?4?1， 4A F G F1 O B 图4
x 当y?b?2得x??4，?G点的坐标为(4,b?2)，y'?过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4即y?x?b?2，
令y?0得x?2?b，?F1点的坐标为(2?b,0)，由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，
x2?2?b?b即b?1，即椭圆和抛物线的方程分别为?y2?1和x2?8(y?1)；
2（2）?过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,?以?PAB为直角的Rt?ABP只有一个，
同理? 以?PBA为直角的Rt?ABP只有一个。 若以?APB为直角，设P点坐标为(x,12x?1)，A、B两点的坐标分别为(?2,0)和8