为参数）垂直，则k? ．
x?114．（不等式选讲选做题）不等式
x?2?1的实数解为 ．
15．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且
AB?4,?ACB?450，则圆O的面积等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16．(本小题满分12分）
已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中（1）求sin?和cos?的值；
???(0,)2．
sin(???)?（2）若
10?,0???102，求cos?的值．
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间
[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进
行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x的值；
（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示．已知
57?78125,27?128,
32738123?????,365?73?518253651825182591259125）
18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体Ｇ分别是棱
ABCD?A1B1C1D1的中点．设点
的棱长为２，点Ｅ是正方形分别是点Ｅ，Ｇ在平面
BCC1B1的中心，点Ｆ、
C1D1,AA1E1,G1DCC1D1内的正投影．
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线（３）求异面直线
DCC1D1内的
FG1?平面FEE1E1G1与EA；
所成角的正统值
19．（本小题满分１４分）
2x?xBA(xA,yA)B(xB,yB)C:y?x已知曲线与直线l:x?y?2?0交于两点和，且A．记
曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点
P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
G:x2?2ax?y2?4y?a2?（２）若曲线
20．（本小题满分１４分）
51?025与点D有公共点，试求a的最小值．
已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得
极小值m?1(m?0)．设
f(x)?g(x)x．
（１）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （２）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．
21．（本小题满分１４分） 已知曲线的切线
Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)，切点为
．从点P(?1,0)向曲线
Cn引斜率为
kn(kn?0)lnPn(xn,yn)．
（１）求数列
{xn}与{yn}的通项公式；
x1?x3?x5???x2n?1?（２）证明：
1?xnx?2sinn1?xnyn
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广
东卷）
数学（理科）参考答案
选择题
1-8 B .C. B. C D. D A A. 二、填空题 （一）必做题
a1?a2?????ann9.【解析】s?；平均数
11.【解析】
a?b?(1,0)或(?1,0)，则a?(1,0)?(2,?1)?(?1,1)或
a?(?1,0)?(2,?1)?(?3,1)
x2y23??1e?2，2a?12，a?6，b?3，则所求椭圆方程为36911.【解析】.
a?b?c?12.【解析】由题知
1111?a?c??012?a?12?c?22??112，612，，
a?解得
51b?12，4.
(二)选做题
k?(?2)??1213.【解析】，得k??1.
??x?1?x?2?(x?1)2?(x?2)23???x???1??2x??2x?2?x?2?0?x?2?014.【解析】且
x?1OB，OA?OB，15.【解析】解法一：连结OA、则?AOB?90，∵AB?4，∴OA?22，
S圆???(22)?8?.
202R?；解法二：
则
4?42?R?220sin45，则
S圆???(22)2?8?三、解答题
16. 解：（1）∵a与b互相垂直，则a?b?sin??2cos??0，即sin??2cos?，代入
sin2??cos2??1sin???得
255,cos???55???(0,，
又
2)，
∴
255s?i?n,c?o?s55.
0???（
2
）
∵
?2，
0???31010?2，
∴
??2??????2，
则
cos(???)?1?sin2(???)?，∴
c?17.
?cos[??(???)]?c?c解
：
（
???)?s?so?o??)?1
）
由
2i2.
图
is可
s知
nn(32738123119(????)?50?1??50x?50x?1?1825365182518259125912518250； ，解得1192365?(?50??50)?21918250365（2）；
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为
11922193?50??50??182503653655，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1?32?55，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为
7665372730626311?C7()()?C7()()?555578125.
18. 解：（1）依题作点E、G在平面
DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、
DD1的中点，连结EE1、EG1、ED、DE1，则所求为四棱锥E?DE1FG1的体积，其底
面DE1FG1面积为
SDE1FG1?SRt?E1FG1?SRt?DG1E1?
11?2?2??1?2?222，
12VE?DE1FG1?SDE1FG1?EE1?33. 又EE1?面DE1FG1，EE1?1，∴
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E1(0,2,1)、
G1(0,0,1)，又G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，则FG1?(0,?1,?1)，FE?(1,1,?1)，FE1?(0,1,?1)，
∴FG1?FE?0?(?1)?1?0，FG1?FE1?0?(?1)?1?0，即FG1?FE，
FG1?FE1，
又FE1?FE?F，∴FG1?平面FEE1.
cos?E1G1,EA??（3）E1G1?(0,?2,0)，EA?(1,?2,?1)，则
E1G1?EAE1G1EA?26，设异
面直线
E1G1与EA所成角为?，则
sin??1?23?33.
15Q(,)2y?xy?x?2x??1,x?2B19. 解：（1）联立与得A，则AB中点22，设线段PQ15?s?t15s?2x?,t?2y?x?2,y?222，又点P在22，即的中点M坐标为(x,y)，则
曲线C上，
2y?∴
5111?(2x?)2y?x2?x?22化简可得8，又点P是L上的任一点，且不与点A和
?1?2x?11511?2??x?y?x2?x?24，∴中点M的轨迹方程为8，即4yx点B重合，则
15??x?4）. （4G:x2?2ax?y2?4y?a2?（2）曲线
51?025，
xD ox