中考数学总复习导学案
零，求m的值.
例4.(山东潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．
（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的1，
4求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的
距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
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【小结】本节主要考察一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。本节考点多以选择题、填空题和解答题的形式出现！
第8课时 一元二次方程的根与系数的关系
【课前展练】
1．一元二次方程x2?2x?1?0的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 2. 若x1 =
Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｄ．没有实数根
3?2是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2 = .
3.若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
4.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________， __________，(x1－x2)2＝_______. 5.已知?，?为方程x2?4x?2?0的二实根，则
?2?3??7??24? ．
11?x1x2＝
6．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数;当m＝ 时，两根互为相反数.
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【要点提示】
熟练掌握一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)根的判别式(??b2?4ac)与方程根的关系，能正确判断所给方程的根的存在性。熟练掌握一元二次方
ax2?bx?c?0(a?0)两实数根
x1、x2与系数的关系，会求一元二次方程两根的对称代数式
的值, 会根据根的特点求字母系数的值, 能根椐两根构造一元二次方程。 【考点梳理】
考点一：一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的根的判别式为 .
（1）b2?4ac>0?一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?有两个 实数根，即x1,2? .
（2）b2?4ac=0?一元二次方程有 相等的实数根，即
x1?x2? .
（3）b2?4ac<0?一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0? 实数根.
考点二： 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两根分别为x1，
x2，那么x1?x2? ，x1?x2? .
【典型例题】 例1: 下列命题：
对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)
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① 若a?b?c?0，则b2?4ac?0；
② 若b?a?c，则一元二次方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根；
③ 若b?2a?3c，则一元二次方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根；
④ 若b2?4ac?0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（ ）
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．
例2:当k为何值时，方程x2?6x?k?1?0，（1）两根相等； （2）有一根为0； （3）两根互为倒数.
例3:菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程
x2?7x?12?0
的一个根，则菱形ABCD的周长为 .
例4:已知关于x的方程x2?2(k?1)x?k2?0有两个实数根x1,x2.（1）求k的取值范围； （2）若x1?x2
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?x1x2?1，求k的值；
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例5：（湖南怀化）如图，已知二次函数y?(x?m)2?k?m2的图象与x轴相交于两个不同的点A(x1，0)、B(x2，0)，与y轴的交点为
C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．
（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于
5，求m和k的值．
【小结】在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题. 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件. 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式b2?4ac?0；② 二次项系数a?0。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.
第9课时 分式方程及其应用
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