课时9．一元二次方程及其应用
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1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如x2?a(a?0)或(x?b)2?a(a?0)的一元二次方程，就可用直
接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax2?bx?c?o?a?0?的一般步骤是：①化二次项
系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为
(x?m)2?n的形式，⑤如果是非负数，即n?0，就可以用直接开平方求出方程的解.
如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式是
2xb?4ac1,2??b?2a(b2?4ac?0).
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左
边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，
注意一元二次方程一般形式中a?0.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【中考演练】
1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________. 2．已知2是关于x的方程
32x2
－2 a＝0的一个解，则2a－1的值是_________. 3．关于y的方程2y2?3py?2p?0有一个根是y?2，则关于x的方程x2?3?p的解为____.
4．一元二次方程3x2=2x的解是 ．
5．一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是 ． 6．已知m是方程x2-x-2=0的一个根，那么代数式m2-m = ． 7．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2
=7 x ②y2=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x23-2y+6=0
⑤ 2( x2+1)=10 ⑥
4x2-x-1=0 A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
8. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为
（ ）
A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
9．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
10．解方程
(1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2
－4x－1＝0（用公式法）；
(3) 4x2
－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x2?22x+1=0．
11．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增
长率相同，求月增长率．
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﹡课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
是 ．
5．已知?，?是关于x的一元二次方程x2?(2m?3)x?m2?0的两个不相等的实数根，且满【考点链接】
1. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的根的判别式为 . （1）b2?4ac>0?一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?有两个 实数根，即
x1,2? . （2）b2?4ac=0?一元二次方程有 相等的实数根，即x1?x2? . （3）b2?4ac<0?一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0? 实数根.
2． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两根分别为x1，x2，那么
x1?x2? ，x1?x2? . 3．易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零
这个限制条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式b2?4ac?0；
② 二次项系数a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
【中考演练】 1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________，
1x?1＝__________，(x1－x2)2＝_______. 1x22．当c?__________时，关于x的方程2x2?8x?c?0有实数根．（填一个符合要求的数即可）
3. 已知关于x的方程x2?(a?2)x?a?2b?0的判别式等于0，且x?12是方程的根，则a?b的值为 ．
4. 已知a，b是关于x的方程x2?(2k?1)x?k(k?1)?0的两个实数根，则a2?b2的最小值
足
1??1???1，则m的值是（ ）
Ａ．3或?1
Ｂ．3
Ｃ．1
Ｄ．?3或1
6．一元二次方程x2?3x?1?0的两个根分别是x21，x2，则x21x2?x1x2的值是（ ） Ａ．3
Ｂ．?3
Ｃ．13
Ｄ．?13
7．若关于x的一元二次方程x2.?2x?m?0没有实数根，则实数m的取值范围是（ A．m
－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为xx1、x2，，若1x?x2?17, 2x14求k的值.
9．已知关于x的一元二次方程x2??m?1?x?m?2?0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两实数根之积等于m2?9m?2，求m?6的值．
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）课时11．分式方程及其应用
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1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0
的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，
求出参数的值.
【中考演练】
1．方程
21x?1?x?0的解是 ． 2．若关于x方程
x?2x?3?mx?3?2无解，则m的值是 ． 3.分式方程2x2?1?1x?1?13的解是 ． 4. 以下是方程1x?1?x2x?1去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ） A．2?1?x?1 B.2?1?x?1 C.2?1?x?2x D.2?1?x?2x
5．分式方程
xx?2?1x2?4?1的解是（ ） A．?332 B．?2 C．?52 D．
2 6.分式方程x?1x?2?4x?1 的解是（ ） A.x1?7, x2?1 B. x1?7,x2??1 C. x1??7, x2??1 D. x1??7 x2?1 先化简，再求值 a27. －4 1
a－3·(1－ a－2
)，其中a =－2
8． 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？
9.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成． (1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工
程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的
56后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
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课时12．一元一次不等式(组)
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1．不等式的有关概念：用 连接起来的表示不等关系的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：
（1）若a＜b，则a+c b?c；
（2）若a＞b，c＞0则ac bc（或abc c）；
（3）若a＞b，c＜0则ac bc（或ac bc）.
3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax?b；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.
4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a?b）
??x?a?b的解集是x?a，即“小小取小”；?x?a的解集是x?b，即“大大取大”； ?x??x?b
??x?a?x?b的解集是a?x?b，即“大小小大中间找”；
??x?a?b的解集是空集，即“大大小小取不了”. ?x6．易错知识辨析：
（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义. （2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax?b（或ax?b）（a?0）的形式的解集：
当a?0时，x?bba（或x?a）
当a?0时，x?ba（或x?ba） 当a?0时，x?ba（或x?ba） 【中考演练】
1．不等式3x?1?9?x的解集是 ．
2．关于的方程x2?2(k?1)x?k2?0两实根之和为m，m??2(k?1)，关于y的不等于组
??y??4有实数解，则k的取值范围是_________________． ?y?m3． 不等式3 ( x－1 ) + 4≥2x的解集在数轴上表示为（ ）
4．不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示， 则这个不等式组为（ ） A．??x?2?x?2?x?x??1 B. ???1 C．?2 D. ??x?2x??1
??x?x??1?5．不等式组??3x?1?2，的解集在数轴上表示为（ ?8?4x≤0）
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
A．
B．
C．
D．
?3(x?2)≥x?4，6．解不等式组???x?1?2?1.
7．解不等式组??3x?1?4,?2x?x?2.，并把它的解集表示在数轴上．
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课时13．一元一次不等式(组)及其应用
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1．求不等式（组）的特殊解：
不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. ２．列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为x；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.
3．易错知识辨析：
判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质. 【中考演练】
1． 用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的 深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够 时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的
12．已知这个铁钉被敲 击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入
木块的长度是2cm,若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是
． 2．海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：
品 名 规格（米） 销售价（元/条） 羽绒被 2×2.3 415 羊毛被 2×2.3 150 现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被____条．
3． 6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市 元． 4．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 5． 若a＞0，b＜－2，则点(a，b＋2)应在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学
去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
(1)如果他们一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？
(2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅
牌钢笔的数量的
12，但又不少于红梅牌钢笔的数量的14.如果他们买了锦江牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元，
① 请写出y (元)关于x (支)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
② 请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？
8.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10
辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？
9.我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： 脐 橙 品 种 A B C
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获得（百元） 12 16 10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
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