第一章 坐标系
章末复习课
[对应学生用书P18]
[对应学生用书P19]
在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程 由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹)方程是解析几何非常重要的一类问题，在高考中常以解答题中关键的一问的形式出现，一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题．
常用的方法有：
(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．
(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程． (3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，y1，x1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．
(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
[例1] 如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
[解]如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)，
O2(2,0)．
设P(x，y)，
则|PM|＝|PO1|－|MO1|＝(x＋2)＋y－1. 同理，|PN|＝(x－2)＋y－1. ∵|PM|＝2|PN|，即|PM|＝2|PN|. 即(x＋2)＋y－1＝2[(x－2)＋y－1]． 即x－12x＋y＋3＝0.
即动点P的轨迹方程为(x－6)＋y＝33.
求曲线的极坐标方程 在极坐标系中求曲线的极坐标方程是高考考查极坐标系的一个重要考向，重点考查轨迹极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题．求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f(ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．
[例2] 已知Rt△ABO的直角顶点A在直线ρcos θ＝9上移动(O为原点)，又∠AOB＝30°，求顶点B的轨迹的极坐标方程．
[解] 如图①，设B(ρ，θ)，A(ρ1，θ1)． 则ρcos 30°＝ρ1，即ρ1＝
3ρ. 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
又∵ρ1cos θ1＝9，而θ1＝θ－30°，
π?π???∴ρcos 30°cos?θ－?＝9，即ρcos?θ－?＝63. 6?6???
① ②
若点B的位置如图②所示，同理得点B的轨迹方程为 π??ρcos?θ＋?＝63.
6??
π??综上所述，点B的轨迹方程为ρcos?θ±?＝63. 6??
π
[例3] 已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上
3取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．
[解] 设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.
a?2π－θ?，
在△POA中，ρ1＝·sin??π?3?
sin
3
|PA|＝
asin θ
πsin
3
，又|OQ|＝|OP|＋|PA|，
π??∴ρ＝2acos?－θ?. ?3?
极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化主要考查点的极坐标与直角坐标的互化以及曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，将不熟悉的极坐标(方程)问题转化为熟知的问题求解．解决此类问题，要熟知：互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ＝x＋y，tan θ＝
2
2
2
yxx
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，
y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝2acos θ(a＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.
[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ， 得ρ＝2aρcos θ， 即x＋y＝2ax.
整理得x＋y－2ax＝0，即(x－a)＋y＝a， 是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．
2
2
2
2
2
2
22
(2)两边同时乘以ρ得ρ＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x＋y＝9x＋9y，
2
2
2
?9?2?9?281
又可化为?x－?＋?y－?＝，
?2??2?2
92?99?是以?，?为圆心，以为半径的圆． 2?22?(3)将ρ＝4两边平方得ρ＝16，即x＋y＝16， 是以原点为圆心，以4为半径的圆．
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线． [例5] 将下列极坐标方程化为直角坐标方程． 5π2
(1)θ＝；(2)ρ＝ρ；(3)2cos θ＝7sin θ.
6
2
2
2
yy5π3
[解] (1)∵tan θ＝，∴＝tan＝－.
xx63
∴y＋3
x＝0. 3
2
(2)∵ρ＝ρ，∴ρ＝0或ρ＝1. ∴x＋y＝0或x＋y＝1.
(3)两边同乘以ρ得：2ρcos θ＝7ρsin θ. ∴2x－7y＝0.
[例6] 若两圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝2sin θ，求两圆的公共弦长． [解] 法一：将两圆方程化为直角坐标方程为：
2
2
2
2
x2＋y2－2x＝0和x2＋y2－2y＝0.
?x＋y－2x＝0，?由?22
??x＋y－2y＝0
2
2
2
得y＝x，
即为公共弦所在直线方程．
??x＋y－2x＝0，由?
?y＝x?
2
2
得交点坐标为(0,0)，(1,1)．
－
2
∴弦长为－＋＝2.
法二：设除极点外的公共点坐标为P(ρ，cos θ)(ρ＞0)． 则2cos θ＝2sin θ， ∴tan θ＝1.
ππ由于0≤θ≤，∴θ＝. 24
π
∴ρ＝2cos＝2.
4∴公共弦长为2.
[对应学生用书 P20]
一、选择题
π??2π??1．在极坐标系中，已知两点A?3，－?，B?1，?，则A，B两点间的距离是( )
3??3??A．1 C．3
B．2 D．4
2π?π?
解析：选D 设极点为O，∵∠AOB＝－?－?＝π，
3?3?∴A，O，B三点共线．
∴A，B两点间的距离|AB|＝|OA|＋|OB|＝3＋1＝4.
π??2．在极坐标系中，与点?－8，?关于极点对称的点的一个坐标是( ) 6??
?π?A.?8，?
6??
5??C.?－8，π? 6??
5??B.?8，－π?
6??
π??D.?－8，－? 6??
解析：选A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， π?7π????π?故?－8，?关于极点对称的点的一个坐标为?－8，?，即?8，?.
6?6?6????
π??3．在极坐标系中，已知一个圆的方程为ρ＝12sin?θ－?，则过圆心与极轴垂直的
6??直线的极坐标方程是( )
A．ρsin θ＝33 C．ρcos θ＝－3
B．ρsin θ＝－33 D．ρcos θ＝3
π22
解析：选C 圆ρ＝12sin(θ－)化为x＋y＋6x－63y＝0，其圆心为(－3,33)，
6∴所求直线方程为x＝－3化为极坐标方程：ρcos θ＝－3.
4．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( ) A．垂直 C．相交但不垂直
B．平行 D．重合
解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y＝xtanα，ρsin(θ－α)＝1化为1
ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtanα＋.
cos α