10．我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O正东方向80 n mile的B处，沿东西方向向
O岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O正北方向40 n mile的A处的我军舰沿直线前往拦截，
以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．
解：A，B两点如图所示，A(0,40)，
B(80,0)，
∴OA＝40(n mile)，OB＝80(n mile)． 我军舰直行到点C与敌舰相遇， 设C(x,0)，
∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x. ∵敌我两舰速度相同， ∴AC＝BC＝80－x.
在Rt△AOC中，OA＋OC＝AC， 即40＋x＝(80－x)，解得x＝30. ∴点C的坐标为(30,0)．
2
2
22
2
2
x2y2
11.如图，椭圆C0：2＋2＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆
abC1：x2＋y2＝t21，b
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x＋y＝t2与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b
2
2
2
2
2
y1
x1＋a(x＋a)，①
－y1
(x－a)．② x1－a直线A2B的方程为y＝
－y122
由①②得y＝22(x－a)．③
x1－a2
2
x2x2y21?x2y21122?由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故2＋2＝1.从而y1＝b?1－2?，代入③得2－2＝1(x<－
abab?a?a，y<0)．
(2)设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，
故x1y1＝x2y2.
因为点A，A′均在椭圆上，所以
22
22
?x1??x2?bx?1－2?＝b2x22?1－2?.
?a??a?
221
22
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x1＋x2＝a.从而y1＋y2＝b， 因此t1＋t2＝a＋b为定值．
2
2
2
2
222222
2．1&2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化
[对应学生用书P5]
[自主学习]
1．极坐标系的概念 (1)极坐标系：
在平面内取一个定点O，叫作极点，自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)点的极坐标：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长，用θ表示以Ox为始边，OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
①特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；
②点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，如果规定ρ>0,0≤θ<2π或者－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．
2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件：
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标与直角坐标的互化：
??x＝ρcos θ，
①将点M的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的关系式为?
??y＝ρsin θ
.
②将点的直角坐标(x[合作探究]，y)化为极坐标(ρ，θ)的关系式为ρ＝x＋y，??
?ytan θ＝x?x?
2
2
2
.
1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而极坐标以角和距离为背景．
联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．
2．点M(ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为
什么？
提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)． 3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？ 提示：通常有不同的表示法．(极角相差2π的整数倍)
[对应学生用书P6]
由极坐标确定点的位置 π??9π??π??3π??[例1] 在极坐标系中，画出点A?1，?，B?2，?，C?3，－?，D?4，?.
4??2?4??4???[思路点拨] 本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O为圆心，极径为半径分别画弧，从而得到点的位置．
[精解详析] 在极坐标系中先作出
ππ
线，再在线上截取|OA|＝1，这样可得到点44π?A?1，?.同样可作出点B?2，?，C?3，－?，D?4，?，如图所示．
4?2??4?4????
?
π?
?
3π???
9π? 由极坐标确定点的位置的步骤 (1)取定极点O；
(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；
(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；
(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．
?π??π??7π?1．在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B?3，?，C?2，?，D?3，?；结合
4?2?4????
图形判断点B，D的位置是否具有对称性；并求出B，D关于极点的对称点的极坐标．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π))
解：如图，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的．
由图形知B，D两点关于极轴对称，且B，D关于极点的对称点的极坐标分别为
?3，5π?，?3，3π?. ??4?4?????
化极坐标为直角坐标 π???2π?[例2] 已知A?3，－?，B?1，?，将A，B坐标化为直角坐标，并求A，B两点间
3?3???的距离．
[思路点拨] 本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两点间的距离公式得结果．
π??2π??[精解详析] 将A?3，－?，B?1，?由极坐标化为直角坐标， 33
????
?π?3
对于点A，有x＝3cos?－?＝，
?3?2
y＝3sin?－?＝－
3
?π???
3333??3
，∴A?，－?. 22??2
2π12π3
对于点B，有x＝1×cos＝－，y＝1×sin ＝，
323213
∴B(－，)．
22∴|AB|＝
3?2?3＋1?2＋?33
?22??－－? ???22?
＝4＋12＝4.
??x＝ρcos θ，
1．将极坐标M(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)，只需根据公式：?
?y＝ρsin θ?
即可
得到；
2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解．