所以两直线平行． 二、填空题
π?2?5．已知一条直线的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝，则极点到该直线的距离是4?2?________．
π?ππ22?解析：∵ρsin?θ＋?＝ρsin θcos ＋ρcos θsin ＝ρsin θ＋ρcos
4?4422?θ＝
2
， 2
∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x＋y＝1. 则极点到该直线的距离d＝
2 2
|0＋0－1|2
＝. 22
答案：
6．(上海高考)在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为________．
1±5
解析：联立得ρ(ρ－1)＝1?ρ＝，又ρ≥0，故两曲线的公共点到极点的距离
21＋5为. 2
1＋5答案： 2
7．极坐标方程5ρcos 2θ＋ρ－24＝0表示的曲线焦点的极坐标为____________________．
解析：极坐标方程5ρcos 2θ＋ρ－24＝0化为 5ρ(cosθ－sinθ)＋ρ－24＝0， 即3x－2y＝12. 得标准方程为－＝1.
46所以a＝4，b＝6，c＝10.
所以两焦点的极坐标为(10，0)，(10，π)． 答案：(10，0)，(10，π)
π
8．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝.若将l的极坐标
6方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
x2y2
解析：在直线l上任取点P(ρ，θ)，在△OPM中，由正弦定理得2
，即sin ∠OMP?π
sin?－θ?6
答案：
1?πsin?－θ?6
OMsin ∠OPM＝.
OP???
＝
1
，化简得ρ＝5π?πsin sin?－θ6?6
ρ
?
??
，故f(θ)＝
1?πsin?－θ?6
???
???
三、解答题
π??9．在极坐标系中P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos?θ－?上的6??动点，试求PQ的最大值．
解：以极点O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系xOy，将方程ρ＝12sin θ化为直角坐标方程为x＋y＝12y，它表示圆心为(0,6)，半径为6的圆．
π??将ρ＝12cos?θ－?化为直角坐标方程为
6??
(x－33)＋(y－3)＝36，它表示以(33，3)为圆心，6为半径的圆．
由圆的位置关系可知，当P，Q所在直线为连心线所在直线时，PQ长度可取最大值，且最大值为
3
22
2
2
2
＋3＋6＋6＝18.
2
10．已知A(－1,0)，B(1,4)，在平面上动点P满足PA·PB＝4，点Q是点P关于直线l：y＝2(x－4)的对称点，求动点Q的轨迹方程．
解：法一：设P(x，y)，
则PA＝(－1－x，－y)，PB＝(1－x,4－y)， 故由PA·PB＝4?
(－x－1)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4， 即x＋(y－2)＝3.
∴P的轨迹是以C(0,2)为圆心，以3为半径的圆． ∵点Q是点P关于直线y＝2(x－4)的对称点，
∴动点Q的轨迹是一个以C0(x0，y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线y＝2(x－4)的对称点，即直线y＝2(x－4)与CC0垂直，且过CC0的中点，于是有
2
2
2
y－2??x－0×2＝－1，?y＋2x＋0??2＝2－
000
0
??
?2y0＋x0－4＝0，?
即???y0－2x0＋18＝0
?x0＝8，?
??y0＝－2.
2
2
故动点Q的轨迹方程为(x－8)＋(y＋2)＝9. 法二：设P(x，y)，
则PA＝(－1－x，－y)，PB＝(1－x,4－y)，
故由PA·PB＝4?(－x－1)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4，即x＋(y－2)＝3(*)． 设点Q的坐标为Q(u，v)，
∵Q，P关于直线l：y＝2(x－4)对称， ∴PQ与直线l垂直，于是有∵PQ的中点在l上，∴有
2
2
2
v－y1
＝－ ①. u－x2
＝2(
y＋v2
x＋u2
－4) ②.
??
由①②可解得?1
y＝??5
x＝代入方程(*)得
2
1
5
－3u＋4v＋，
u＋3v－
2
(－3u＋4v＋32)＋(4u＋3v－26)＝(3×5)， 化简得u＋v－16u＋4v＋59＝0 ?(u－8)＋(v＋2)＝9.
2
2
2
2
2
故动点Q的轨迹方程为(x－8)＋(y＋2)＝9.
22
[对应学生用书P41]
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的)
1．在极坐标中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极π
坐标方程；②tan θ＝1与θ＝(ρ≥0)表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一
4条曲线．在这三个结论中正确的是( )
A．①③
B．①
C．②③ D．③
解析：选D 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标π
系内，曲线上一点的所有坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝
45π
这条射线，还表示θ＝这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不
4同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．
2．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－5，－53)的极坐标是( ) π??A.?10，? 3??
2π??C.?－10，－?
3??
4π??B.?10，?
3??2π??D.?10，? 3??
－53
解析：选B 设点(－5，－53)的极坐标为(ρ，θ)，则tan θ＝＝3，x<0，
－54π
∴最小正角θ＝，ρ＝3
－
2
＋－53
2
＝10.
π??3．已知点P的柱坐标为?2，，1?，则它的直角坐标为( ) 4??A．(2，1,1) C．(2，2，1)
B．(1,1,1) D．(1,0,1)
解析：选B 设点P的直角坐标为(x，y，z)． π
则有x＝rcos θ＝2cos ＝1，
4
y＝rsin θ＝2sin ＝1，z＝1.
∴点P的直角坐标为(1,1,1)．
4．ρ＝2cos θ－2sin θ表示的曲线是( ) A．直线 C．射线
2
π4
B．圆 D．半圆
解析：选B 两边同乘以ρ得：ρ＝2ρcos θ－2ρsin θ. 把ρ＝x＋y，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得：
2
2
2
x2＋y2－2x＋2y＝0，表示圆．
5．曲线ρ＋2ρ(3cos θ－2sin θ)＝0的对称中心的直角坐标是( ) A．(3,2) C．(－3,2)
2
2
2
B．(2,3) D．(－3，－2)
解析：选C 原方程可化为：x＋y＋6x－4y＝0.
即：(x＋3)＋(y－2)＝13. ∴它的对称中心为(－3,2)．
6．设点P的直角坐标为(4,4,42)，则它的球坐标为( )
22
?ππ?A.?8，，?
44??
?π3π?C.?8，，? 44??
?3ππ?B.?8，，?
44??
?3π3π?D.?8，，? 44??
y4
＝8，tan θ＝＝＝1.
x4
解析：选A 设点P的球坐标为(r，φ，θ)， 则r＝4＋4＋
2
2
2
2
π
又∵x>0，∴θ＝.
4∵42＝8cos φ，∴cos φ＝π
∵0≤φ≤π，∴φ＝. 4
2. 2
?ππ?∴点P的球坐标为?8，，?.
44??
7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A．ρsin θ＝2 C．ρcos θ＝4
B．ρcos θ＝2 D．ρcos θ＝－4
解析：选B 如图，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，ρsin θ＝2表示直线y＝2，ρcos θ＝4表示直线x＝4，ρcos θ＝－4表示直线x＝－4，均不与圆相切，只有B符合．
8．在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ＋4sin θ的圆心坐标是( ) π??A.?22，?
4??
π??C.?42，? 4??
5π??B.?42，?
4??
5π??D.?22，? 4??
2
2
解析：选A 将原方程化成直角坐标方程，得(x－2)＋(y－2)＝8，圆心坐标为π??(2,2)，化成极坐标为?22，?.
4??