2．平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小．
[对应学生用书P1]
平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用 3，且G上一点2[例1] (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程．
(2)在边长为2的正△ABC中，若P为△ABC内一点，且|PA|＝|PB|＋|PC|，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．
[思路点拨] 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．
[精解详析] (1)由已知设椭圆方程为
222
x2y2
＋＝1(a>b>0)， a2b2
则2a＝12，知a＝6.又离心率e＝＝∴b＝a－c＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为＋＝1.
369
(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3)；
∵|PA|＝|PB|＋|PC|，
∴x＋(y－3)＝(x＋1)＋y＋(x－1)＋y. 化简得x＋(y＋3)＝4. 又∵P在△ABC内，∴y>0.
∴P点的轨迹方程为x＋(y＋3)＝4(y>0)．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ca3
，故c＝33. 2
x2y2
其曲线如上图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆孤．
1．求曲线方程的方法：
(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法； (2)求动点轨迹方程常用的方法有：
①直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：
a．建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； b．写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}； c．用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0； d．化简方程f(x，y)＝0；
e．检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e可以省略．
②定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程． ③代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．
④参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
2．根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部．
1．在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程．
解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴建立
平面直角坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，|BD|＋|CE|＝30， 2
可知|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20，
3
∴重心G的轨迹是以(－6,0)，(6,0)为焦点，2a＝20的椭圆，且y≠0，其轨迹方程为：＋＝1(x≠±10)．
10064
利用坐标法解决平面几何问题 [例2] 如图，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外作正方形ABDE和正方形
x2y2
BCFG，连接EC，AF，且EC，AF交于点M，连接BM.求证：BM⊥AC.
[思路点拨] 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方程，求出kBM，kAC，证明kBM·kAC＝－1，即可．
[精解详析] 如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，
B(0,0)，C(b,0)，E(－a，a)，F(b，－b)．
直线AF：
y＋bx－b＝， a＋b0－b即(a＋b)x＋by－ab＝0； 直线EC：
y－0x－b＝， a－0－a－b即ax＋(a＋b)y－ab＝0.
??a＋bx＋by－ab＝0，
解方程组?
?ax＋a＋by－ab＝0，?
??得?aby＝??a＋ab＋b.2
2
2
a2bx＝2，a＋ab＋b2
2
?ab2，2ab2?.
即M点的坐标为?2??a＋ab＋ba＋ab＋b?
b0－aa故kBM＝.又kAC＝＝－，
ab－0b2
∴kBM·kAC＝－1， ∴BM⊥AC.
坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果翻译成几何结论．
2．已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|＋|PB|＋|PC|最小，并求出此最小值．
解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
2
2
2
则A?0，
??3??a??a?a?，B?－2，0?，C?2，0?.
???2??
设P(x，y)，
则|PA|＋|PB|＋|PC| ＝x＋?y－
2
2
2
2
2
2
?
?3?2?a?2?a?222
a?＋?x＋2?＋y＋?x－2?＋y
???2??
2
5a＝3x＋3y－3ay＋
4＝3x＋3?y－
2
??3?222
a?＋a≥a， 6?
3
a时，等号成立， 6
当且仅当x＝0，y＝
2
∴所求最小值为a，此时P点坐标为P?0，
??3?
a?，它是正△ABC的中心． 6?
平面直角坐标系中的伸缩变换 [例3] 在下列平面直角坐标系中，分别作出＋＝1的图形．
259(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
x2y21
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．
2
[思路点拨] 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x轴、y轴单位长度的变化情况，再作出图形即可．
[精解详析] (1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，则＋＝1
259的图形如图①.
x2y2
1xy(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1
2259的图形如图②.
1xy(3)如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的图
2259形如图③.
2
22
2
一般地，在平面直角坐标系xOy中：
(1)使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k>0)，则当k＝1时，x轴与y轴具
??x′＝x，
有相同的单位长度；即为?
?y′＝y?
的伸缩变换，当k>1时，相当于x轴上的单位长度保
x′＝x，??1
持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，即为?1
ky′＝y?k?
的伸缩变换，当0 时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为