9．在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d，则d的最大值为( )
A．5 C．4
B．6 D．3
2
2
解析：选C 极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x＋y＝9，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2转化成直角坐标方程为x＋3y＝2.则圆心到直线x＋3y＝2的距离d′＝
|0＋0－2|1＋
3
2＝＝1. 22
∴圆上的点到直线的最大距离为d′＋3＝1＋3＝4.
10．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A．2 C．23
B．6 D．215
2
2
解析：选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)＋y＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝4－2＝12＝23.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos π??θ?ρ≥0，0≤θ
2??
??ρcos θ＝3，
解析：由?
?ρ＝4cos θ，?
2
2
得4cosθ＝3.
1
∴2(1＋cos 2θ)＝3，cos 2θ＝. 2π
又0≤2θ<π，∴θ＝.故ρ＝23，
6π??∴曲线C1与C2的交点的极坐标为?23，?. 6??π??答案：?23，?
6??
12．若曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·________．
1sin θ2
解析：由ρ＝tan θ·＝，得ρcosθ＝sin θ， 2
cos θcos θ∴ρcosθ＝ρsin θ，化为直角坐标方程为x＝y. 答案：x＝y
22
2
2
2
1
，则该曲线的直角坐标方程为
cos θ
π??π??13．在极坐标系中，点?2，?到直线ρsin?θ－?＝1的距离是________．
6?6???31?π?解析：点?2，?化为直角坐标为(3，1)，直线方程可化为ρsin θ－ρcos θ＝
6?22?3－3×1＋2|
1，即x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式得d＝2＝1. 2
1＋－3
答案：1
14．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为2x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x＋y＝a，C1
与x轴的交点坐标为?
答案：
2 2
2?2?
，0?，此点也在曲线C2上，代入解得a＝. 2?2?
2
2
2
|
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(广东高考改编)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsinθ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2的交点的直角坐标．
解析：由ρsinθ＝cos θ?ρsinθ＝ρcos θ?y＝x，
??y＝x，
又由ρsin θ＝1?y＝1，联立?
??y＝1
2
2
2
2
2
2
??
??x＝1，??y＝1.
故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．
π??16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos?θ＋?＝1表示的两个图
3??形的位置关系是什么？
解：ρ＝－cos θ可变为ρ＝－ρcos θ， 化为普通方程为x＋y＝－2x，
即(x＋1)＋y＝1，它表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1. π??将ρcos?θ＋?＝1化为普通方程为x－3y－2＝0.
3??|－1－2|3
∵圆心(－1,0)到直线的距离为＝＞1，
21＋3∴直线与圆相离．
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆的长轴长为10，中心为(3,0)，一个焦点在直角坐标原点．
2
2
2
2
2
(1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；
640
(2)当椭圆过直角坐标原点的弦长为时，求弦所在直线的直角坐标方程．
91解：(1)由已知，得a＝5，c＝3，故b＝a－c＝4， 所以椭圆的直角坐标方程为
2
2
x－
25
2
＋＝1. 16
y2
由于x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入上式，得 ρcos θ－
25
2
2
＋ρsin θ
16
2
2
＝1，
即25ρ＝(16＋3ρcos θ)，即5ρ＝16＋3ρcos θ. 16
所以椭圆的极坐标方程为ρ＝.
5－3cos θ
(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ，弦的两端点分别为P1(ρ1，θ)，P2(ρ2，θ16
＋π)，则有ρ1＝，
5－3cos θ
ρ2＝
16
.
5＋3cos θ
6401616640
由于ρ1＋ρ2＝，所以＋＝，则
915－3cos θ5＋3cos θ9114112
＝?cosθ＝?cos θ＝± 2
25－9cosθ9142π2π?θ＝或θ＝.
33
所以所求直线的直角坐标方程为y＝3x或y＝－3x.
18.(本小题满分14分)如图所示，点P为直线x＋y＝1上的动点，O为原点，求正方形OPQR的顶点R，Q轨迹的极坐标方程，并化成直角坐标方程．
解：以Ox为极轴建立极坐标系，则直线x＋y＝1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1.
设点P(ρ0，θ0)，Q(ρ1，θ1)，R(ρ2，θ2)，
?ρ
由题意?θ
?
1
＝2ρ0，
1
π
＝θ0±.
4
①
ρ2＝ρ0，???πθ.2＝θ0±?2?
②
??ρ由①得?
??θ
0
＝1
ρ1，
2
π，0＝θ1?4
∵ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1， ∴点Q的轨迹方程为 1
π?π?????ρ1?cos?θ1??＋sin?θ1???＝1， 4?4???2??
化简得ρ1sin θ1＝1或ρ1cos θ1＝1. 化为直角坐标方程为y＝1或x＝1. ρ0＝ρ2，??
由②得?π
θ，0＝θ2??2?
代入ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1得 π?π?????ρ2?cos?θ2??＋sin?θ2???＝1，
2?2?????化简得点R的轨迹方程为
ρ2(sin θ2－cos θ2)＝1或ρ2(cos θ2－sin θ2)＝1. 化为直角坐标方程为：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.
§1 平面直角坐标系
[对应学生用书P1]
[自主学习]
1．平面直角坐标系与曲线方程
(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．
(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：
曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； ②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线． (3)一些常见曲线的方程： ①直线的方程：ax＋by＋c＝0；
②圆的方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r； ③椭圆的方程：中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆方程为
2
2
2
x2y2
＋＝1； a2b2
④双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线方
x2y2
程为2－2＝1；
ab⑤抛物线的方程：顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为的抛2物线方程为y＝2px.
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．
[合作探究]
1．如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； ③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；
④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．
2
p