??x′＝kx，?
?y′＝y?
的伸缩变换．
(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.
3xy本例中若x轴的单位长度为y轴上单位长度的，则椭圆＋＝1的图形如何？
52593
解：如果y轴上的单位长度不变，x轴的单位长度缩小为原来的，
53??x′＝x，5即???y′＝y，
2
2
则＋＝1的图形变为圆． 259
本课时主要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合．
[考题印证]
设λ>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x上运动，点Q满足BQ＝λQA，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM＝λMP，求点P的轨迹方程．
[命题立意] 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、
性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．
[自主尝试] 由QM＝λMP知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上， 故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x)， 则x－y0＝λ(y－x)，即
2
2
2
2
x2y2
y0＝(1＋λ)x2－λy.①
再设B(x1，y1)，由BQ＝λQA， 即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，
??x1＝解得?
?y1＝?
＋λ＋λ
x－λ，y0－λ.
②
将①式代入②式，消去y0，得
??x1＝?
?y1＝?
＋λ＋λ
x－λ，
22
x－λ
2
＋λy－λ.
2
③
又点B在抛物线y＝x上，所以y1＝x1， 再将③式代入y1＝x1，
得(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]，
(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)x－2λ(1＋λ)x＋λ， 2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0. 因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0. 故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.
22
22
2
22
2
2
[对应学生用书P4]
一、选择题
1．方程x＋xy＝0的曲线是( ) A．一个点 C．两条直线
B．一条直线 D．一个点和一条直线
2
解析：选C 方程变形为x(x＋y)＝0，∴x＝0或x＋y＝0，而方程x＝0，x＋y＝0表示的是直线，∴C正确．
12．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sin B－sin C＝sin
2
A，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是
( )
A.－＝1 927C.
－＝1 279
x2y2
B.－＝1(x＜－3) 927D.
－＝1(x＜－3) 279
x2y2
x2y2x2y2
解析：选B 由题意知，B(－6,0)，C(6,0) 11
由sin B－sin C＝sin A得b－c＝a＝6，
22即|AC|－|AB|＝6.
所以点A的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，2a＝6的双曲线的左支且y≠0.其方程为
x2
9
－＝1(x<－3)．
27
1
3．已知一椭圆的方程为＋＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，则1642
y2
x2y2
该椭圆的形状为( )
1
解析：选B 如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则该2椭圆的形状为选项B中所示．
4．平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是( )
3A. 2C．2
1B. 2D．3
解析：选A 以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分.2c＝4，c＝3
2,2a＝3，∴a＝.
2
97222
∴b＝c－a＝4－＝. 44
3
∴点P的轨迹方程为－＝1(x≥)．
97244
3
由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是. 2二、填空题
5．已知点A(－2,0)，B(－3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x＋1，则点P的轨迹方程是________．
解析：由题意得PA＝(－2－x，－y)，PB＝(－3－x，－y)． ∴PA·PB＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)＝x＋1. 即y＋5x＋5＝0. 答案：y＋5x＋5＝0
6．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(4,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝2
2
2
2
2
x2y2
mOA＋nOB，其中m，n∈[0,1]，且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为________．
解析：由题意知，A，B，C三点共线且C在线段AB上，点A，B所在的直线方程为2x＋5y－13＝0，且点C的轨迹为线段AB，所以，点C的轨迹方程为2x＋5y－13＝0，x∈[－1,4]．
答案：2x＋5y－13＝0(－1≤x≤4)
7．在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义|OP|＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点，对以下结论：
①符合|OP|＝1的点P的轨迹围成图形面积为2；
②设P为直线5x＋2y－2＝0上任意一点，则|OP|的最小值为1；
③设P为直线y＝kx＋b(k，b∈R)上任意一点，则“使|OP|最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k＝±1”．
其中正确的结论有________．(填序号) 解析：在①中，由于|OP|＝1
y＝－x＋1，0≤x≤1，??y＝－x－1，－1≤x≤0，??y＝x＋1，－1≤x≤0，??y＝x－1，0≤x≤1，
其图像如图
?1?故其面积为2×?×2×1?＝2.
?2?
故①正确． 在②中，当P?
25?25?
＜1， ，0?时，|OP|＝|x|＋|y|＝5?5?
∴|OP|的最小值不为1，故②错误．
在③中，∵|x|＋|y|≥|x＋y|＝|(k＋1)x＋b|， 当k＝－1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意， 即|x|＋|y|≥|x－y|＝|(k－1)x－b|，
当k＝1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意，故③正确． 答案：①③
8．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
2
①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称；
12
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a.
2其中，所有正确结论的序号是________．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线
C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应
111
的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝
222
a2，即面积不大于a2，所以③正确．
答案：②③ 三、解答题
9.如图所示，△ABC中，角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且
1
2
B(－1，0)，C(1,0)．
(1)求满足b>a>c，b，a，c成等差数列时，顶点A的轨迹方程． 1
(2)在x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍的平面直角坐标系2中作出(1)中轨迹．
解：(1)∵b，a，c成等差数列， ∴b＋c＝2a＝2×2＝4.
即|AB|＋|AC|＝4>|BC|＝2符合椭圆定义条件． 动点A(x，y)的轨迹是椭圆，且
?2a＝4，????2c＝2，
∴?
?a＝2，?
??c＝1，
∴A点的轨迹方程是＋＝1.
43
由于b>c，即|AC|>|AB|，可知A点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0，－3)，(0，3)．
∵A，B，C构成三角形，∴必须除去点(－2,0)． ∴所求轨迹方程为＋＝1 (－2 43 1xy(2)如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，＋＝1(－2 243的图形为图示． 2 2 x2y2 x2y2