本例中如何由极坐标直接求A，B两点间的距离？ 解：根据M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，则由余弦定理得： |MN|＝ρ1＋ρ2－2ρ1ρ所以|AB|＝ 2
2
2
2
2
θ1－θ
2
，
3＋1－2×3×1×cos?
?2π－?－π??＝4.
????3?3??
化直角坐标为极坐标 [例3] 分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(－1,1)，(2)(－3，－1)．
[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标，同时考查三角函数中由值求角问题，解答此题利用互化公式即可，但要注意点所在象限．
[精解详析] (1)∵ρ＝ －
2
＋1＝2，
2
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 又点(－1,1)在第二象限， 3π∴θ＝. 4
?∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为?2，
?
(2)ρ＝
－3
2
3π??. 4?
＋－
2
＝2，
－13
tan θ＝＝，θ∈[0,2π)，
－33∵点(－3，－1)在第三象限， 7∴θ＝π.
6
?7π?∴直角坐标(－3，－1)化为极坐标为?2，?.
6??
22
ρ＝x＋y，??
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式?ytan θ＝x?x?
即
可，在[0,2π)范围内，由tan θ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征，判断出点所在象限，如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ，k∈Z即可．
yx2．将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标． (1)(3，3)；(2)(－2，－23)． 解：(1)ρ＝3＋
2
3
2
＝23，tan θ＝＝yx3， 3
π
又点(3，3)在第一象限，所以θ＝.
6π
所以点(3，3)的极坐标为23，.
6(2)ρ＝
－
2
＋－23
2
＝4，
tan θ＝＝
y－23
＝3，
x－2
4π
又点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝. 3
?4π?所以点(－2，－23)的极坐标为?4，?.
3??
本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标的互化，特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命题，更成为命题专家的新宠．
[考题印证]
点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为( )
?π?A.?2，?
3??
π??C.?2，－? 3??
?4π?B.?2，?
3??
4π??D.?2，－? 3??
[命题立意] 本题主要考查点的极坐标与直角坐标 的互化，同时还考查了三角知识及运算解题能力．
[自主尝试] ρ＝1＋－3
2
2
－3
＝2，tan θ＝＝－3，
1
5π
，故点P的一个极坐标为3
又点(1，－3)在第四象限，所以OP与x轴所成的角为
?2，5π?，排除A，B选项．又－4π＋2π＝2π，所以极坐标?2，－4π?所表示的点在第二??3?3?33????
π5象限，故D不正确，而－＋2π＝π.
33
[答案] C
[对应学生用书P8]
一、选择题
1．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )
?π?A.?2，?
4??
?5π?C.?2，? 4??
解析：选B ρ＝
－2
2
?3π?B.?2，?
4???7π?D.?2，? 4??
＋
2
2
＝2，
2
tan θ＝＝－1，
－2∵点P在第二象限， 3π
∴最小正角θ＝.
4
π??2．在极坐标系中与点A?3，－?关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) 3??
?2π?A.?3，?
3??
?4π?C.?3，? 3??
?π?B.?3，?
3???5π?D.?3，? 6??
π??解析：选B 与点A?3，－?关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为
3??
?3，2kπ＋π?(k∈Z)，这时只有选项B满足条件．
?3???
?π??5π?3．在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是A?2，?，B?2，?，那么可能是顶点
4?4???
C的坐标的是( )
?3π?A.?4，?
4??
C.(23，π
3π??B.?23，?
4??D.(3，π)
)
解析：选B 如图，由题设，可知A，B两点关于极点O对称，即O是
AB的中点．
又|AB|＝4，△ABC为正三角形，
πππ3π5ππ
∴|OC|＝23，∠AOC＝，点C的极角θ＝＋＝或＋＝
2424427π
， 4
3π??7π??即点C的极坐标为?23，?或?23，?. 4??4??
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称 D．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
二、填空题
π
5．将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|＝2，则
6ρ>0，θ∈[0,2π)时点M的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0,2π))．
解析：ρ＝|OM|＝2，
π
与OP终边相同的角为－＋2kπ(k∈Z)．
611π?11π?.
∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝.∴M?2，?6?6?π
∴M关于极轴的对称点为(2，)．
6
?11π? ?2，π? 答案：?2，?6?6??????π?6．点A?5，?在条件：
3??
(1)ρ>0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是________； (2)ρ<0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是________．
π??解析：(1)当ρ>0时，点A的极坐标形式为?5，2kπ＋?(k∈Z)，
3??5π??∵θ∈(－2π，0)．令k＝－1，点A的极坐标为?5，－?，符合题意． 3??
?π??(2)当ρ<0时，?5，?的极坐标的一般形式是?－5，
3???
k＋
π
π＋?(k∈Z)．
3??
10π??∵θ∈(2π，4π)，当k＝1时，点A的极坐标为?－5，，符合题意．
3???
5π?10π???答案：?5，－? (2)?－5，? 3?3???
?π??π?7．直线l过点A?7，?，B?7，?，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．
3?6???
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
πππ
因为|AO|＝|BO|＝7，∠AOB＝－＝，
366ππ－
65π
所以∠OAB＝＝. 212π5ππ
所以∠ACO＝π－－＝.
3124π答案： 4
π??π??8．已知两点的极坐标是A?3，?，B?－8，?，则AB中点的一个极坐标是12??12??________．
解析：画出示意图，A，B与极点O共线， 15
∴ρ＝(3－8)＝－，
22πθ＝. 12
?5π?故AB中点的一个极坐标为?－，?. ?212??5π?答案：?－，? ?212?
三、解答题
9．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线的焦点处，当此彗星离地球30万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．
解：如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列4种情形：
①当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)； ②当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)；