③当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)； ④当θ＝330°时，ρ＝30(万千米)．
∴彗星此时的极坐标有4种情形：(30,30°)，(30,150°)，(30,210°)，(30,330°)．
?π?10．在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为?2，?和(3,0)，O为极点．
3??
(1)求|AB|；(2)求S△AOB. 解：|AB|＝ρ1＋ρ2－2ρ1ρ＝
222
θ1－θ
2
?π?22
2＋3－2×2×3×cos?－0?
?3?
＝4＋9－6＝7.
S△AOB＝|OA|·|OB|·sin ∠AOB
1?π?＝×2×3×sin?－0?
2?3?＝33
. 2
12
?π??5π?11．在极坐标系中，如果A?2，?，B?2，?为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点
4??4??
C的极坐标．
π?π?解：法一：对于A?2，?有ρ＝2，θ＝，
4?4?π
∴x＝ρcos θ＝2cos＝2，
4
y＝ρsin θ＝2sin＝2.
∴A(2，2)．
5?5π?对于B?2，?有ρ＝2，θ＝π.
4?4?5π
∴x＝2cos＝－2，
4
π4
y＝2sin
5π
＝－2. 4
∴B(－2，－2)．
设C点的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，故有|AB|＝|BC|＝|AC|. ∴有(x＋2)＋(y＋2)＝(x－2)＋(y－2) ＝(2＋2)＋(2＋2).
2
2
2
2
2
2
?x－2∴有?
?x＋2
解之得?
2
＋y－2
2
＝16，
2
＋y＋2
2
＝16.
?x＝6，?y＝－6，
或?
?x＝－6，?y＝6.
∴C点的坐标为(6，－6)或(－6，6)． －6
∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝＝－1.
67π3π∴θ＝或θ＝.
44
7π??3π??∴点C的极坐标为?23，?或?23，?.
4??4??
法二：设C点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)． 则有|AB|＝|BC|＝|AC|.
??ρ
∴???ρ
2
π?22?2
＋2－2×2ρcos?θ－?＝2＋2－2×2×2cos π，
4??
5π?22?222
＋2－2×2ρ cos?θ－?＝2＋2－2×2cos π.
4??
??ρ＝23，
解之得?3π
θ＝?4?
??ρ＝23，
或?7π
θ＝.?4?
3π??7π??∴点C的极坐标为?23，?，?23，?. 4??4??
2．3 直线和圆的极坐标方程
[对应学生用书P9]
[自主学习]
1．曲线的极坐标方程
(1)意义：在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：
①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； ②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上．
那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．
(2)求极坐标方程的步骤：
求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： ①建立适当的极坐标系； ②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；
③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；
④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；
⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第⑤步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．
2．常见直线和圆的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程 (1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋过极点，倾斜角为α的直线 α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 π过点(a，)，与极轴平行的直2线 圆心在极点，半径为r的圆 π??πρcos θ＝a?－<θ
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程有何异同？
?－π≤θ<π? ?22???ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) 提示：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组满足极
?ππ?坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M?，?可
?44??ππ??ππ??ππ?以表示为?，＋2π?或?，－2π?等多种形式，其中只有?，?的形式满足方?44??44??44?
程，而其他表示形式都不满足方程．
π
2．在极坐标系中，θ＝－与tan θ＝－1表示同一条直线吗？
4提示：表示同一条直线．
3．在极坐标系中，ρ＝1或ρ＝－1表示同一个圆吗？ 提示：表示同一个圆．
[对应学生用书P9]
射线或直线的极坐标方程 ?π?[例1] 求：(1)过点A?2，?平行于极轴的直线的极坐标方程．
4??
3π?π?(2)过点A?3，?且和极轴成角的直线的极坐标方程．
3?4?
[思路点拨] 本例主要考查直线的极坐标方程以及正弦定理等三角、平面几何知识，同时亦考查了数形结合思想，解答此题需要先设待求直线上任一点M(ρ，θ)，寻找到ρ，θ满足的几何等式，建立关于ρ，θ的方程，再化简即可．
[精解详析] (1)法一：如图在直线l上任取一点θ)，
在△OAM中|OA|＝2，|OM|＝ρ， π?π?∠OAM＝π－?或?，
4?4?∠OMA＝θ(或π－θ)．
M(ρ，
在△OAM中，由正弦定理得
2ρ
＝， sin θπ
sin
4
∴ρsin θ＝2.
?π?点A?2，?也满足上述方程．
4??
?π?因此过点A?2，?平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝2.
4??
法二：如图，在直线l上任取一点M(ρ，θ)，过M作MH⊥极轴于H点．
?π?∵A点坐标为?2，?， 4??
π
∴|MH|＝2·sin＝2.
4在直角三角形MHO中，
|MH|＝|OM|sin θ，即ρsin θ＝2，
?π?点A?2，?也满足此方程．
4??
π??2，∴过点A??平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝2.
4??(2)如图，设M(ρ，θ)为直线l上一点．
?π?已知A?3，?，故|OA|＝3. 3??
π
∠AOB＝，
3
3π3ππ5π
又已知∠MBx＝，∴∠OAB＝－＝. 44312又∠OMA＝π－?
?3π－θ?＝π＋θ，
?4
?4?
3
?πsin?＋θ?4
在△MOA中，根据正弦定理得
???
＝
ρ
， 5πsin12
5π7π6＋2?ππ?又sin＝sin＝sin?＋?＝， 12124?43?将sin?
?π＋θ?展开化简代入可得
??4?
333ρ(sin θ＋cos θ)＝＋，
22