401. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?
解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.
∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝
bsin??acos??(asin??bcos?)＝a?b?absin?≥a?b?ab.
2222222222∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为a?b?ab.
22
402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.
已知：从二面角α—AB—β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.
证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E， ∵PC⊥α，PD⊥β ∴PC⊥AB，PD⊥AB
∴CE⊥AB，DE⊥AB
又∵CE?α，DE?β，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角. 在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°
∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互补.
403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.
已知：二面角α—ED—β，平面?过ED，A∈?，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C. 求证：AB∶AC＝k(k为常数)
证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.
∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.
∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.
∠BFA，∠AFC分别为二面角α—DE—?，?—DE—β的平面角，它们为定值. 在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB. 在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：
ABACAFsin?AFBAFsin?AFC＝＝定值.
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404. 如果直线l、m与平面α、β、?满足l＝β∩?，l∥α,m?α和m⊥?.那么必有( ) A.α⊥?且l⊥m B.α⊥?且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥? 解析：∵m?α,m⊥?. ∴α⊥?. 又∵m⊥?,β∩?＝l. ∴m⊥l.
∴应选A.
说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.
405. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝
?2，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin
55，又PA⊥
平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.
解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中. ∵∠ADC＝arcsin
55CD?CD,即⊥D′DC＝arcsin
55，
∴sin∠CDD′＝＝
55
∴CD＝5a ∴D′D＝2a ∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC 又在RtΔABC中，AC＝
AB?BC22＝2a,
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB. 在RtΔPAB中，可得PB＝
2a.
22在RtΔPAC中，可得PC＝PA?AC＝3a.
22在RtΔPAD中，PD＝a?(3a)＝10a.
22222
∵PC+CD＝(3a)+(5a)＝8a＜(10a)
∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°
∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P—CD—A的平面角.
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在RtΔAED中∠ADE＝arcsin
5555，AD＝3a.
∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝
355a.
在RtΔPAE中，tan∠PEA＝
PAAE＝
a355a＝
53.
∴∠AEP＝arctan
53，即二面角P—CD—A的大小为arctan
53.
(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB. ∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.
∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC. AH为点A到平面PBC的距离. 在RtΔPAB中，AH＝
PA?ABPB＝
a?a2a＝
22a.
即A到平面PBC的距离为
22a.
说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.
406. 如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.
(1)求二面角α—l—β的大小； (2)求证：MN⊥AB；
(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.
解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.
∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α—l—β的平面角.
∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α—l—β的大小为45°. (2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB
(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角.
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407. 如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.
(1)求证：平面CA′B⊥平面A′AB； (2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′与平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)
解析：(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB?平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB
(2)由四边形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，连AB′，可知ΔABB′是正三角形.取 B B′中点H，连结AH，则AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面 C′B′BC，而AH垂直于两平面交线BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.连结C′H，则∠AC′H为 AC′与平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝23，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，
2352525sin∠AC′H＝
∴∠AC′H＝arcsin3,∴直线AC′与平面BCC′B′所成的角是arcsin3.
408. 已知四棱锥P—ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点.
(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD； (2)求点E到平面PBC的距离； (3)求二面角A—BE—D的大小.
(1)证明: 在四棱锥P—ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点. 又E为AD的中点，∴EF∥PC
又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF?平面EBD. ∴平面EBD⊥平面ABCD. (2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC
∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离 过F作FH⊥BC交BC于H， ∵PC⊥平面ABCD，FH?平面ABCD ∴PC⊥FH.
又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离. ∵∠FCH＝30°，CF＝
32a.
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∴FH＝
12CF＝
34a.
(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD， ∴AF⊥平面BDC. ∵BF＝EF＝
a2，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE，
∴∠FGA为二面角D—BE—A的平面角. FG＝
a2×
22＝
AFFG24a,AF＝
32a.
∴tg∠FGA＝＝6,∠FAG＝arctg6
即二面角A—BE—D的大小为arctg6
409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).
(1)证明：∵AA1∩BB1＝O, ∴AA1、BB1确定平面BAO， ∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，
∴AB?平面ABO；A1B1?平面ABO.
同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.
(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上. 证明：如图，设AB∩A1B1＝P； AC∩A1C1＝R；
∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.
∵ BC?面ABC；B1C1?面A1B1C1， 且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q在同一直线上.
410. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.
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