解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点. 证明 ∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α.
∵ X∈PQ，PQ?α，∴X∈α，又X∈BC，BC?面BCD，∴X∈平面BCD.
∴ 点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上.
411. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.
解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合. 证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α. ∵A∈a,a?α，∴A∈α,同理B∈a.
又∵A∈m，B∈m,∴m?α.同理可证n?α. ∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证m?β. ∵平面α、β都经过相交直线b、m,
∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.
412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点. 求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内
解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.
证明：图①中，l1∩l2＝P， ∴ l1,l2确定平面α.
又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α. 故 l3?α. 同理 l4?α. ∴ l1,l2,l3,l4共面.
图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面. 所以结论成立.
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413. 证明推论3成立.（如图）
已知：a∥b，求证：经过a,b的平面有且只有一个.
证明：(存在性)∵a∥b，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个. (唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.
∵a∥b,∴A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.
414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?
解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.
415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内. 解答：已知：Aa，如图，B、C、D∈a，证明：AB、AC、AD共面. 证明：∵Aa，∴A，a确定平面α，∵B、C、D∈a，a?α. ∴B、C、D∈α 又A∈α.
∴AB、AC、AD?α. 即AB、AC、AD共面.
416. 空间可以确定一个平面的条件是( ) A.两条直线 B.一点和一直线 C.一个三角形
D.三个点
解析： 由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.
417. 下列命题正确的是( ) A.经过两条直线有且只有一个平面
B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面
C.如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面
D.两个平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 解析：根据公理2、公理3知选D.
418. 已知四点，无三点共线，则可以确定( ) A.1个平面 B.4个平面
C.1个或4个平面 D.无法确定
解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.
419. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的
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半径是( ) A.4
B.3
C.2
D.5
解析： 如图，设球的半径是r，则πBD2＝5π，πAC2＝8π， ∴BD＝5，AC＝8.又AB＝1，设OA＝x. ∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2. 解之，得r＝3 故选B.
420. 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径. 解析： 如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO1O2O3的中心，连接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝
2332
2
，OH＝1-r,OO1＝1+r,
∴OO1＝O1H+OH，即(1+r)＝(
2222
233)+(1-r)，解得r＝
22
13.
421. 地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度差为离.
?2，求球面上A、B两点间球面距
解析：本题关键是求出∠AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O1O，O1A，O1B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求∠BOA的问题. 解： 如图2，∵∠O1OA＝
?4＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝
22R ∴AB2＝O1A2+O1B2
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＝R， ∴ΔAOB为等边Δ， ∴∠AOB＝422. 一个圆在平面上的射影图形是( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 解析：D
?3，A、B间的球面距离为
?3R.
D.圆或椭圆或线段
423. 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21cm，求此镜面的表面积和体积.
解析：轴截面如图，设O2C＝x，则CO1＝21-x,∵AB⊥O1O2 ∴AO22-O2C2＝AO12-CO12，即102-x2＝172-(21-x)2，解得x＝6,CO1＝15,又设左边球缺的高为h1,右边的球缺高为h2，则h1＝17-15＝2,h2＝10-6＝4,∴S表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm),V＝
2
13π［2(3·10-2)+4(3·17-4)］＝288π(cm).
223
424. 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.
解析：如图，PD是三棱锥的高，则D是ΔABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，AD＝
233AB＝
233，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝
432
3，而AP⊥AE，∴PA＝PD·PE
＝
PAPD＝
83，R＝
43，∴S球＝
649π(cm)2.
425. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.
证明： 设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有VA—BCD＝VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD，如图，即
13Sh＝4×
13SR,∴h＝4R.
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426. 地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为
?R3，求A、B两地经度的差.
解析：如图，O为球心，O1为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B两地的经度差. 解： 设O1是北纬45°圆的中心， ∵A、B都在此圆上， ∴O1A＝O1B＝
22R. ?R3∵A、B的球面距离为，
?R?＝3＝,ΔAOB为等边三角形. R3RAB＝R，在ΔAO1B中，
∴∠AOB＝
l∵O1A2+O1B2＝
12R2+
12R2＝R2＝AB2，
∴∠AO1B＝90°.
∴A、B两地的经度差是90°.
评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.
427. 已知圆锥的母线长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.
解析：设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝
?2?2，R＝OD＝AD·tan
?2,VA
＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan
?23
,又设正方体棱长为x，则3x2＝EG2＝4R2,x＝
233R.∴V正方体＝
839(lcos
θtan).
428. 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.
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