解析：A．取BD中点E，连结AE、CE，由AB=AD，∠ABC=∠ADC，AC=AC得△ABC≌△ADC，∴ DC=BC，∴ AE⊥BD，CE ⊥ BD，∴ ∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．∵ AE2?AB2?BE2，
EC2?BC?BE，AC2222222?AB?BC，∴ cos?AEC?
AE?EC?AC2AE?EC2??2BE22AE?EC＜0，∵ ∠AEC为钝角
466. 已知二面角??-l-??的大小为??（??是锐角），A∈l，B∈l，PC?l，且P∈??，P在??内的射影为P′．记△ABP的面积为S，则△ABP′的面积S′等于________．
解析：Scos??．作PH⊥l于H，连结P?H．∵ PP????，∴ P?H?l（三垂线定理的逆定理）．∴ ?PHP?为二面角??-l-??的平面角，即?PHP???．S??S??12AB?PH?cos??S?cos?．
12AB?P?H，P?H?PH?cos?，∴
图答9-46
467. 平面??⊥平面??，平面??⊥平面??，且??∩??=a，??∩??=b，a∥b，平面??与??的位置关系是________． 解析：平行．在??上作l⊥a，∵ a∥b，∴ l⊥b．∵ ??⊥??于a，∴ l⊥??，同理l⊥??．∴ ??∥??． 468. ．如图9-53，ABCD?A1B1C1D1是长方体，AB=2，AA1?AD?1，求二平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的大小．
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解析：∵ 平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴ 平面AB1C与平面A1B1C1D1的交线l为过点B1且平行于AC的直线．直线l就是二平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的棱．又AA1⊥平面A1B1C1D1，过A1作AH⊥l
52于H，连结AH．则?AHA1为二面角A?l?A1的平面角．可求得tan?AHA1?5252．因此所求角的大小
为arctan或π?arctan
14BB1，CM?34CC1（如图
469. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，K?BB1，M?CC1，且BK?9-54）．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．
解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平面角．设正方体棱长为a，则
CM?34a，BK?14a．在△ECM中，由BK∥CM可得EB?12a，CF?35故tan?MFC?a，
54．因
此所求角的大小为arctan54或π?arctan54．
470. 如图9-55，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角C??AD?C．
（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；
（2）若二面角C??AD?C是直二面角，求C?C的长；
（3）求AC?与平面C?CD所成的角；
（4）若二面角C??AD?C的平面角为120°，求二面角A?C?C?D的平面角的正切值．
解析：（1）∵ AD⊥BC，∴ AD⊥DC，AD?DC?，∴ 二面角C??AD?C的面为ADC和面ADC?，棱为AD，二面角的平面角为?C?DC．
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（2）若?C?DC?90?，∵ AC=a，∴ DC?DC??12a，∴ CC??22a．
（3）∵ AD?DC?，AD⊥DC，∴ AD⊥平面DC?C．∴ ?AC?D为AC?与平面DC?C所成的角，在Rt△ADC?中，DC??DC??AC?D?60?．
12AC，∴ ?DAC??30?，于是
（4）取CC?的中点E，连结AE、DE，∵ DC??DC，AC??AC，∴ AE?C?C，DE?C?C，∴ ∠AED为二面角A?C?C?D的平面角，∵ ?C?DC?120?，C?D?CD?a2在Rt△AED中，AD? ??23．a，∴ tan?AED?1DE2a4471. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．
312a，∴ DE?14a，
3AD解析：如图答9-24，设AC=a，BC=b，CD=c，∵ △ACD是Rt△，∴ AD?是Rt△，∴ AB?a?b．∵ △BCD是Rt△，∴ BD?AB?AD?BD2?AB?AD222a?c． ∵ △ABC
2222b?c．而在
＞0，又∵ ∠BAD是三角形内角，
22△ABD中，cos?BAD??a22222(a?b)(a?c)∴ 0°＜∠BAD＜180°，∴ ∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴ △ABD是锐角三角形．
472. 已知D为平面ABC外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角形面积的平方等
2222于其余三个三角形面积的平方和，即S?ABC?S?DAB?S?BDC?S?ADC．
解析：如图答9-25，设DA=a，DB=b，DC=c，则S?ADB?中，作DM⊥AB于M，则DM?aba?b222212ab，S?BDC?12bc，S?ADC?12ac．在△ABD
． ∵ CD⊥AD，CD⊥DB，∴ CD⊥平面ADB，∴ CD
⊥DM．在Rt△CDM中，CM?DM?CD2?c?2ab2222a?b?
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ab?bc?caa?b1422222222222， ∴ S2222?ABC?(212AB?CM)?2214(a?b)?22ab?bc?caa?b22222222?
(ab?bc?ca)?S?ADB?S?BDC?S?CDA．2
图答9-25
473. 如图9-34，在△ABC中，∠ACB=90°，AB
平面? ，点C??，C在??内的射影为O，AC和BC
与平面? 所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求CD与平面??所成角的大小．
解析：连结OD，∵ CO⊥平面AOB，∴ ∠CDO为CD与平面? 所成的角．∵ AB、CB与平面??所成角分别为30°和45°，∴ ∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a，BC＝2a．在
2222Rt△ABC中，AB?(2a)?(2a)?6a，∴ AB?6a． ∵ CD⊥AB，∵ 2a2312?AB?CD?12AC?BC，∴ CD?AC?BCAB?2a?6a?a．在Rt△COD中，
sin?CDO?a2a3?32，∵ 0°＜∠CDO＜90°，∴ ∠CDO=60°，即CD与平面? 所成的角为60°．
474. 给出下列四个命题：
①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行．
②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行．
③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是（ ）．
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A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B．只有③是正确的
475. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面?，CD
平面?，则直线CD与平面?内的直
线的位置关系只能是（ ）．
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交 解析：B．由已知CD∥平面?，?内的直线与CD平行或异面．
476. （1）若直线a、b均平行于平面a，那么a与b的位置关系是__________； （2）若直线a∥b，且a∥平面?，则b与?的位置关系是__________； （3）若直线a、b是异面直线，且a∥?，则b与?的关系是__________． 解析：1）平行、相交或异面． （2）b∥?或b?．
（3）b∥?或b?或b与?相交．
477. 如图9－20，在空间四边形ABCD中，E是边AB上的一点，求作过C、E的一个平面，使对角线BD平行于这个平面，并说明理由．
解析：在△ABD内过E点作BD的平行线，交AD于F．连结CE、CF，则BD∥平面CEF．∵BD∥EF（作图），BD
平面CEF，EF平面CEF，由直线与平面平行的判定定理可知BD∥平面CEF．
478. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1C1和CC1的中点，求证：直线A1C∥平面B1EF． 解析：注意在△C1A1C中，EF是中位线．
479. 如图9－21，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别是BC、CD的中点，则（ ）． A．BD∥平面EFGH，且EFGH是矩形
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