B．HG∥平面ABD，且EFGH是菱形 C．HE∥平面ADC，且EFGH是梯形 D．EF∥平面BCD，且EFGH是梯形
解析：D．A选项中“BD∥平面EFGH”正确，但“EFGH是矩形”错误；B选项中“EFGH是菱形”不正确；C选项中“HE∥平面ADC”不正确．
480. 设a、b是异面直线，则（ ）．
A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a有且只有一个平面与b平行
解析：D．借助正方体这一模型加以排除错误选项．取AB为a，B1C1为b，当任一点取A1时，AB∥平面A1B1C1，但A1平面A1B1C1．于是A不正确．而A1与B1C1上任一点的连线均在平面A1B1C1内，所以这
些直线与AB均无交点，所以B不正确．用反证法说明C不正确，若过任一点有直线与a、b都平行，则由公理4知a∥b，这与a、b异面矛盾．
481. 如图9－22，已知a∥?，B、C、D∈a，A与a在平面?的异侧，直线AB、AC、AD分别交?于E、F、G三点，若BC＝5，AD＝7，DG＝4，则EF的长为_________．
解析：∵ E、F、G是平面ABC与平面?的公共点， ∴ E、F、G共线， ∵ BC∥?，∴ BC∥EF， ∴
EFBC?FGCD?AGADAGAD7?47157，∴ EF?BC??5??
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482. 如图9－23，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B、B1的任一点，AB1?A1E?F，B1C?C1E?G．求证：
图9－23
（1）AC∥平面A1EC1； （2）AC∥FG．解析：
483. 已知三个平面?、?、??满足???＝?，???＝b，???＝c，且a∥? ，求证：b∥?，c∥?． 如图答9－14，解析：
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同理可证c∥?．
484. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，求证：直线EF∥平面BB1D1D． 解析：取BD中点G，连结EG，GD1．可证EFD1G为平行四边形（还有其他证法）．
485. 已知平面?∩平面?＝l，A∈?，B∈?，C∈??（如图9－24），在下列情况下求作平面ABC与平面?的交线，并说明理由． （1）ABl；（2）AB∥l．
解析：（1）∵AB
l，AB与l共面于?，∴ AB与l相交，设AB∩l＝D，连结CD，则CD＝平面ABC??，
这是因为D∈AB，D∈l，∴ D∈平面ABC，D∈?，∴ D为平面ABC与平面??的一个公共点，∴ 平面ABC与平面?的交线是过D的一条直线，又C是平面ABC与平面??的另一个公共点，且平面ABC与平面的交线是过C的一条直线，所以平面平面ABC??＝CD．
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图答9－15
（2）在平面?内过C作CE∥l，则CE＝平面ABC??．∵ AB∥l，AB
?，l?，∴ AB∥平面?．∵
平面ABC与平面??有一个公共点C，∵ 平面ABC与?相交于过C的一条直线m．∵ AB平面ABC，
平面ABC???＝m，AB∥?，∴ AB∥m．∵ AB∥l，∴ l∥m．于是在??内过C作l的平行线即为所
求的交线．
486. 如图9－25，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．
解析：
487. 如图9－26，P为△ABC所在平面外一点，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC．
（三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍）
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图9－26
解析：如图答9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结DE．在ΔPAB中，∵ M是ΔPAB的重心，∴
PMMD?2，同理在△PBC中有
PNNE?2，在△PDE中，∵
PMPN，∴ MN?MDNE∥DE，∵ MN?平面ABC，DE平面ABC，∴ MN∥平面ABC．
488. 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）空间两条直线可以确定一个平面；
（2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条； （3）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（4）直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行； （5）直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
（6）直线a与b异面，b与c异面，则?与c异面；
（7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直． 解析：（1）不正确．两条异面直线不能确定一个平面．
（2）不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线——与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条．
（3）不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面． （4）正确．由公理4可知．
（5）不正确．a、c可能平行，还可能异面．
（6）不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交． （7）正确．因为直线与两条平行线所成的角相等
489. 直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关
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