D1B都相等.
∴对角面A1C1AC，B1D1DB都是矩形. 因此 CC1⊥A1C1 ∴BB1⊥B1D1
又∵BB1∥CC1 ∴BB1⊥A1C1
∴BB1⊥平面A1C1
∴平行六面体A1C是直平行六面体 同理可证：CB⊥平面A1B，则BC⊥AB. ∴平面四边形ABCD是矩形. ∴直平行六面体A1C是长方体.
457.求证：底面是梯形的直棱柱的体积，等于两个平行侧面面积的和与这两个侧面间距离的积的一半. 已知：直四棱柱A1C，如图，它的底面AC为梯形.DC∥AB，侧面A1B与侧面D1C的距离为h. 求证：V棱柱AC＝
112(S面AB+S面DC)×h
11
证：设D1E1是梯形A1B1C1D1的高， ∵D1E1⊥A1B1，D1E1?面A1C1
面A1C1⊥面A1B，面A1C1∩面A1B＝A1B1. ∴D1E1⊥面A1B. ∴D1E1＝h.
V棱柱AC＝S底·AA1 1＝＝＝
121212(D1C1+A1B1)·D1E1·AA1 (D1C1·A1A+A1B1·A1A)·h (S面DC+S面AB)·h
11458. 如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC中点. (1)证明AB1∥面DBC1
(2)假设AB1⊥BC1，BC＝2，求线段AB1在侧面BB1CC1上的射影长. 分析：弄清楚正三棱柱的概念，利用三垂线定理找二面角.
解析：(1)证明：∵A1B1C1—ABC是正三棱柱， ∴四形B1BCC1是矩形，连结B1C，交BC1于E，
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则B1E＝EC，连结DE.
在ΔAB1C中，AD＝DC，∴DE∥AB1 又AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1 ∴AB1∥平面DBC1
(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，因为面ABC⊥面B1BC1，所以DF⊥B1BCC1，连结B1E，则B1E是A1B在平面B1BCC1内的射影 ∵BC1⊥AB1 ∴BC1⊥B1E ∵B1BCC1是矩形 ∴∠B1BF＝BC1C＝90° ∴ΔB1BF∽ΔBCC1 ∴
B1BBC＝
BFCC1＝
BFB1B
又F为正三角形ABC的BC边中点 因而B1B2＝BF·BC＝2
于是B1F2＝B1B2+BF2＝3，∴B1F＝3 即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为3
459. 如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a. (1)求截面EAC的面积
(2)求异面直线A1B1与AC之间的距离 (3)求三棱锥B1—EAC的体积
解析：(1)连结DB交AC于O，连结EO. ∵底面ABCD是正方形 ∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC ∴EO⊥AC
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角 ∴∠EOD＝45° DO＝
22a,AC＝2a,EO＝
22a·sec45°＝a.
故 SΔEAC＝
22a.
2
(2)解：由题设ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC. 又A1A⊥A1B1
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线
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∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO ∴D1B∥EO
又O是DB的中点
∴E是D1D的中点，D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝
D1B?DB22＝2a.
2a.
异面直线A1B1与AC间的距离为连结B1O，则VB?EAC＝2VA?EOB
11∵AO⊥面BDD1B1
∴AO是三棱锥A—EOB1的高，AO＝
22a.
在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点 则：S△EOB＝
134a2.
1334∴VB?EAC＝2·
1·
a2·
22a＝
243
a3
所以三棱锥B1—EAC的体积是
24a.
460. 如图，在正方体ABDC—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点. (1)证明AD⊥D1F
(2)求AE与D1F所成的角 (3)证明面AED⊥面A1FD1
(4)设AA1＝2，求三棱锥F—A1ED1的体积V??F—A1ED1?
解析：(1)∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1.又D1F?DC1，∴AD⊥D1F.
(2)取AB中点G，连结A1G、FG(如图).因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F. 设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角.因为E是BB1的中点，RtΔA1AG≌RtΔABE，∠GA1A＝∠GAH，从而∠AHA1＝90°，即直线AE与D1F所成角为直角.
(3)由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F?面A1ED1，∴体积VF?AED＝VG?AED＝VD?AGE，∵AA1＝2，∴面积S△AGE＝SABB11111111A1-2S△AAG-S△GBE＝
132.
∴VF?AED＝
1113×A1D1×S?AGE＝
113×2×
32＝1.
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461. 如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a. (1)求证：AF⊥A1C
(2)求二面角C—AF—B的大小
分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB 连结EF，由于AB＝2AA1 ∴AA1FE为正方形
∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C
(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1 ∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角 ∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a ∴CE＝
2a,OE＝
22a,∴tan∠COE＝
2a22a＝2.
∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.
462. 如图9-51，已知ABCD、ABEF、CDFE都是长方形，且平面ABCD⊥平面ABEF．记∠FCE=? ，∠CFB=??，∠CEB=??，则有（ ）． A．sin??=sin??·sin? B．cos??=cos??·cos? C．sin??=sin??·cos? D．sin??=sin??·cos?
解析：C．
平面ABCD?ABEF?CB??平面ABCDCB?CD?BF?sin??，??CF ??CB?平面ABEF??CB??CB?BE?sin??．?CE?CB?AB ______________________________________________________ __
CB?平面ABEF?CE ?CE?EF?cos??．?BE?EFCF?于是sin??=sin??·cos??．
463. 设直线l、m，平面??、??、??满足??∩??=l，l∥??，m
??，且m⊥??，则必有（ ）．
A．??⊥??，且l⊥m B．??⊥??，且m∥?? C．m∥??，且l⊥m D．??∥??，且??⊥?? 解析：A．
m???l???? ???? ；又????l????m?l．?m???m???464. 一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内（都不在棱上），则这条线段与这两个平面所成
的角的和（ ）．
A．等于90° B．大于90°
C．不大于90° D．不小于90°
解析：C．如图答9-45，设直二面角??-l-??，作AC⊥l于C，BD⊥l于D．∵ ??⊥??，则AC⊥??，BD⊥
??，连结BC、AD，则∠ABC为AB与平面??所成的角，∠BAD为AB与平面??所成的角．
当AB⊥l时，易得AB与??、??所成角之和等于90°，当AB与l不垂直时，设?ABC??1，?BAD??2，
?CAB??3，sin?3?BCAB， sin?2?BDAB，∵ BC＞BD，∴ sin?3＞sin?2，∵ 函数y=sinx在
π?? ?上是增函数，∴ ?3＞?2，∵ ?3??1?90?，∴ 90??1＞?2，∴ ?1＋?2＜90?．故AB与?0，2????、??所成角之和≤90°．
465. 如图9-52，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则二面角A-BD-C的平面角是（ ）． A．钝角 B．直角
C．锐角 D．大小不确定的
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