解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，PADB是矩形，PD＝AB＝PA+PB，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了. 解： (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，
∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2. 设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1， ∵PC⊥⊙O1平面，
∴OO1∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD. ∴CD是球的直径.
故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.
(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝
136136162
2
2
2
xyz，
V＝
2
xyz≤
222
(
x?y?z3222)＝
3
136·
64R276＝
2345R6.
∴V≤
4327R3.
即 V最大＝
4327R3.
评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.
球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质. 429. 求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.
解析：如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝
63a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、
D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4·
13·Sr＝
13S·AH，∴r＝
14AH＝
612a,设
______________________________________________________ __
外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔBCD于H，则H为ΔBCD的外心，求得BH＝
23a,AH
＝
63a,由相交弦定理得
63a×(2R-
63a)＝(
33a)2.
解得R＝
63a.
430.求证：球的任意两个大圆互相平分. 证明：因为任意两个大圆都过球心O，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两个大圆互相平分.
2.在球心的同一侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积各为49πcm和400πcm.求球的表面积.
2
2
解： 如图，设球的半径为R， ∵πO2B＝49π， ∴O2B＝7 同理 O1A＝20
设OO1＝xcm，则OO2＝(x+9)cm. 在RtΔOO1A中，可得R2＝x2+202 在RtΔOO2B中，可得R2＝72+(x+9)2 ∴x2+202＝72+(x+9)2 解方程得 x＝15cm
R＝x+20＝25
∴S球＝4π·OA2＝2500π(cm2)
431. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的那么这个球的半径为( )
A.43 B.23 C.2 D.
3
162
2
2
2
2
，经过3个点的小圆的周长为4π，
解析： 设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB
______________________________________________________ __
＝∠BOC＝∠COA＝
?3，又∵OA＝OB
∴ΔAOB是等边三角形
同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形. 边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径. r＝
33AB＝
33R
R＝
33r＝23
∴应选B.
432. 已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是( ) A.
649π B.
83π C.4π D.
169π
解析： 如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥ AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形. ∴AO′＝
33×2＝
233
R2设球半径为R，则OA＝R，OO′＝
在RtΔOAO′中，OA＝O′O+O′A，即R＝∴R＝
432
2
2
2
R24+(
233)2
649∴球面面积为4πR2＝∴应选A.
π
说明 因为R＝OA＞O′A＞
12AB＝1，所以球面积S＝4πR2＞4π.从而选A.
433. 长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( ) A.20
2π
B.252π C.50π D.200π
解析： 正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R. 得：l2＝4R2＝32+42+52＝50
______________________________________________________ __
从而 S球＝4πR＝50π ∴应选C.
434. 在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是 .
解析：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝3a.
322
2
2
∴S
球表面积
＝4π·(a)＝3πa.
435. 圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm. 解析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.
解： 设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V球＝2×即 25πh＝∴应填
436. 空间四边形ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC和BD的关系是（ ）． A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．不相交也不垂直 D．不相交但垂直
解析：D．取BD中点O，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC． 437. 已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中（ ）．
A．只有一个平面与a平行 B．有无数个平面与a平行 C．只有一个平面与a垂直 D．有无数个平面与a垂直
解析：A．过b上任一点P作直线a?//a，由a?和b确定的平面??与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面．故排除B．当a与b不垂直时，假设存在平面? ，使b
53125343π×52×h,V1＝ V球
π ∴h＝
53cm.
.
??，且a⊥? ，则a⊥b，这与
a、b不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过b且与a垂直的平面是唯一的，设a、b的公垂线为c，则由c和b所确定的平面与a垂直，且唯一． 438. 若直线l与平面??所成角为取值范围是（ ）．
A．?0， π? B．?0， ?
33?????2??π?π3，直线a在平面? 内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的
C．?， ? D．?， π? 3233?????ππ??π2?解析：C．因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于
π3；又因为异面直线所成的角不大于
π2，故选C．
439. 直线a、b均在平面? 外，若a、b在平面??上的射影是两条相交直线，则a和b的位置关系是（ ）．
A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．相交或异面直线
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解析：D
440. ABCD是平面? 内的一个四边形，P是平面? 外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形 441. 已知直线PG⊥平面??于G，直线EF
??，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是（ ）．
A．PE＞PG＞PF B．PG＞PF＞PE C．PE＞PF＞PG D．PF＞PE＞PG 解析：C．如图答9-17．PG⊥??，EF
??，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为斜边，PG为直
角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．
442. 下列命题中正确的是（ ）．
A．若a是平面??的斜线，直线b垂直于a在平面??内的射影为a?，则a⊥b
B．若a是平面??的斜线，平面??内的直线b垂直于a在平面??内的射影为a?，则a?⊥b
C．若a是平面??的斜线，直线b平行于平面??，且b垂直于a在平面??内的射影a?，则a⊥b
D．若a是平面??的斜线，b是平面??内的直线，且b垂直于a在另一个平面??内的射影a?，则a⊥b 解析：C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面??内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令? 是直线a与其在??内的射影a?确定的平面，在? 内取垂直于a?的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在??内任取点P，∵ P?b，则过b与P确定平面??，设????b?，因为b∥
? ，则b//b?．∵ b?a?，∴ b??a?．∴ b??a，∴ b⊥a．于是C正确．
443. 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则 （1）A到B1C的距离等于________； （2）A到BD1的距离等于________； （3）A到平面A1B1CD的距离等于________；
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