解法一：连结BD1，取A1B1的中点E，连BE交AB1于M，连D1E交A1C1于N，连MN. 因为ΔA1NE∽ΔC1ND1，所以
ENND1＝
A1EC1D1＝
12，
则
ENED1ENED1＝
13，同理
EMEB＝
13.
∵＝
EMEB.∴MN∥BD1.
由三垂线定理知BD1与A1C1、AB1都垂直，故MN为两对角线的公垂线， 又ΔEMN∽ΔEBD1 故
MNBD1＝
ENED1＝
13.∴MN＝
33a.
解法二：取A1M＝
23A1C1313，B1N＝
AB13，过N作NP⊥A1B1于P，连MP，则ΔMPN为直角三角形，由计
533323算，PM＝a,PN＝a,故MN＝
33a.又A1N＝a，A1M＝
a,故A1N2＝A1M2+MN2，于是MN⊥
A1C1；同理，由AN＝
223a,AM＝
113a,MN＝a可知MN⊥AB1.故MN为AB1与A1C1的公垂线段，
从而AB1与A1C1的距离为
33a.
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解法三：可转化为求平行平面间的距离.连A1D，C1D，A1C1，B1C.易知A1D∥B1C，A1C1∥AC.故平面A1DC1∥平面AB1C.连BD1，设与平面A1DC1交于M，与平面AB1C交于N.因BD1与图中所示6条面对角线都垂直，故BD⊥面A1DC1，也垂直于AB1C.即MN是A1C1与AB1的距离，在RtΔD1DB中，D1M＝
DD12BD1＝
33a，而同理可求BN＝
3333a，故
MN＝3a-
33a-
33a＝a.
说明 上例还可以利用直线与平面平行、体积转换等方法求解.
453. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上的一动点，平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值.
解析：如图.对角面A1B1CD⊥对角面ABC1D1，其交线为EF.过P作PQ⊥EF于Q，则PQ⊥对角面ABC1D1.分别连PE、PF.
∵EF⊥AD1，PE⊥AD1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ＝α，
同理，∠PFQ＝β.
设A1P＝x,(0≤x≤1)，则PB1＝1-x. ∵EQ＝A1P，QF＝PB1，PQ＝∴当0＜x＜1时，有 tanα＝
22x22，
,tanβ＝
22(1?x),
2∴tan(α+β)＝
tan??tan?1?tan?tan?＝
2x1??222(1?x)?22(1?x)
2x＝?2(x?212)?212
而当x＝0时α＝
?2，tan(α+β)＝tan(
?2+β)＝-cotβ＝-
EFA1E＝-2，上式仍成立；类似地可以验证.当x
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＝1时，上式也成立，于是，当x＝值-2.
又∵ 0＜α+β＜π， ∴(α+β)max＝π-arctan2 (α+β)min＝π-arctan22
12时，tan(α+β)取最小值-22；当x＝0或1时，tan(α+β)取最大
454. 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在对角线BD1上，且AE＝
14，BF＝
12，D1G∶GB＝1∶2，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.
解析：设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD， ∵
GHD1D＝
23GBD1B＝
23
∴GH＝
作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面BFG与底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝
GHHM.
下面求HM的值.
建立如图所示的直角坐标系，据题设可知. H(
13，
23)、E(
14，0)、F(1，
12)
∴直线EF的方程为
y?012?0
x?14， 14＝1? ______________________________________________________ __
即 4x-6y-1＝0.
由点到直线的距离公式可得
4?13?6?4?6232232?1｜HM｜＝＝
11613，
∴tgθ＝·
61311＝
41311，θ＝arctg
41311.
说明 运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.
455. 如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱AA1长为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°则此平行六面体的体积为
解析：一 求平行六面体ABCD—A1B1C1D的体积，应用公式.由于底面是正方形，所以关键是求高，即A1到底面ABCD的距离
解法一：过点A1做A1O⊥平面ABCD，垂足为O，过O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分别为E、F，连结A1E，A1F，可知O在∠BAD的平分线AC上. ∴cos∠A1AO·cos∠OAF＝
OAAA1·
AFAO＝
AFAA1＝cos∠A1AF
即cos∠A1AO·cos45°＝cos60° ∴cos∠A1AO＝
2222
∴sin∠A1AO＝
∴A1O＝A1Asin∠A1AO＝∴V＝SABCD·A1O＝
2
2
分析二 如图，平行六面体的对角面B1D1DB把平行六面体分割成两个斜三棱柱，它们等底面积、等高、体积相等，考察其中之一三棱柱A1B1D1—ABD.
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解法二：过B作BE⊥A1A，连结DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下两部分，若把两部分重新组合，让面A1D1B1与面ADB重合，则得到一直棱柱，ΔBDE是其底面，DD1是其侧棱，并且和斜三棱柱A1B1D1—ABD的体积相等. 取BD中点O，连结OE，易知 SΔBED＝
1212122BD·OE＝
32BD·
22DE2?OD242
＝·2·()?()＝
2
∴V直棱柱＝SΔDEB·DD1 ＝
24×2＝
22＝VABD111?ABD
∴VABCD1111?ABCD＝2VABD111?ABD＝2
点评 在解决体积问题时，“割”“补”是常用的手段，另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法：斜棱柱的体积＝直截面面积×侧棱长.
456.求证：(1)平行六面体的各对角线交于一点，并且在这一点互相平分. (2)对角线相等的平行六面体是长方体. 已知：平行六面体ABCD—A1B1C1D1
求证：(1)对角线AC1、BD1、CA1、DB1相交于一点，且在这点互相平分； (2)若AC1＝BD1＝CA1＝DB1时，该平行六面体为长方体.
证明：(1)∵AA1∥BB1，BB1∥CC1， ∴AA1∥CC1.
∴对面角A1ACC1是平行四边形.
∴CA1与AC1相交，且互相平分.
设CA1∩AC1＝0，则O为CA1，AC1的中点.
同理，可证DB1与AC1及AC1与D1B也相交于一点，且互相平分. 交点也是O.
∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一点，且互相平分.
(2)∵平行六面体AC1的对角线面A1C1CA、B1D1DB都是平行四边形.且它们的对角线A1C、B1D、C1A、
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