（4）AB到平面A1B1CD的距离等于________．
解析：1）连接AB1，AC，则AB1?AC，取B1C的中点E，连结AE，则AE?B1C． ∴ AE为点A到直线B1C的距离，在Rt△ACE中，AC?∴ AE2?(2)2?(2222，CE?12B1C?122，
)?2?12?32，∴ AE?62．即A到B1、C的距离等于
62．
（2）连结AD1．∵ AB⊥平面ADD1A1，∴ AB?AD1．在Rt△ABD1中，AB=1，AD1?设A到BD1的距离为h，则?AB?AD1?21212h?3，∴ h?112h?BD1．即
2，BD1?3，
?1?2?23?63，即点A到BD1的距离为
63．
（3）连结AD1交A1D于F，则AF?A1D．∵ CD⊥平面AA1D1D，且AF平面AA1D1D，∴ CD
2，
⊥AF．∵ CD∩AD=D，∴ AF⊥平面A1B1CD．∴ AF为点A到平面A1B1CD的距离．∵ AD1?1222∴ AF?AD1?．
（4）∵ AB∥CD，∴ AB∥平面A1B1CD，∴ AB到平面A1B1CD的距离等于A点
22到平面A1B1CD的距离，等于
．
444. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1．则
（1）AD1与平面ABCD所成的角等于________；
（2）AC1与平面ABCD所成的角的正切值等于________； （3）AD1与平面BB1C1C所成的角等于________ ； （4）D1C1与平面BB1C1C所成的角等于________； （5）B1C与平面BB1D1D所成的角等于________.
解析：（1）∵ D1D⊥平面ABCD，∴ ?D1AD为AD1与平面ABCD所成的角，?D1AD =45°．
（2）∵ C1C⊥平面ABCD，∴ ?C1AC为AC1与平面ABCD所成的角．设CC1?1，则AC?2，
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∴ tan?C1AC? （3）∵ AD1成的角为0°．
CC1AC?12?22 ．平面BB1C1C，B1C//AD1，∴ AD1∥平面BB1C1C，∴ AD1与平面BB1C1C所
（4）∵ D1C1⊥平面BB1C1C，∴ D1C1与平面BB1C1C所成的角为90°． （5）连结AC，交AD于H．连结B1H，∵ B1B⊥平面ABCD，CH
平面ABCD，
∴ B1B?CH，又∵ CH⊥BD，∴ CH⊥平面BB1D1D．∴ B1H为B1C在平面BB1D1D内的射影．∴
1222?CB1H为B1C与平面BB1D1D所成的角．设正方体棱长为1，则B1C??CB1H?30?，即B1C与平面BB1D1D所成的角为30°．
2，CH?AC?，∴
445. 如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．
图9-29
解析：连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．
446. 如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，AA?为a、b的公垂线段，AA??4cm．另
有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．
解析：如图答9-20，过A?作a?//a，则a?与b确定平面? ．作BC?a?于C，在平面? 内作CD⊥b于D，连结BD．∵ AA??a∴ AA??a?． ∵ AA??b，a??b?A?，∴ AA???．∵ BC//AA?，∴ BC⊥??．∵ CD⊥b，∴ BD⊥b（三垂线定理），即BD为B点到b的距离．∵ a//a?，∴ ?CA?D为异面直线a与b所成的角，∴ ?CA?D?30?．∵ A?C?AB?2，?CDA??90?，∴ CD=1．在
22Rt△BCD中，BC?AA??4，CD=1，∠BCD=90°，∴ BD?BC?CD222?4?1?17，∴ BD?17．
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447. 如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．
解析：∵ SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴ SC⊥平面SAB，∴ AB⊥SC．∵ H是S在平面ABC上的射影，∴ SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵ AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴ H为△ABC垂心．
448. 如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：
图9-32
（1）BD⊥平面ADC；
（2）若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影． 解析：（1）设AD=BD=CD=a，则AB?AC?2a．∵ ∠BAC=60°，∴ BC?2a．由勾股定理可
知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵ BD⊥AD，AD∩DC=D，∴ BD⊥平面ADC．
（2）如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵ H是△ABC的垂心，∴ CH⊥AB．∵ CD⊥DA，CD⊥BD，∴ CD⊥平面ABD，∴ CD⊥AB．∵ CH∩CD=C，∴ AB⊥平面DCH． ∵ DHAB∩BC=B，∴ DH⊥平面ABC．
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平面DCH，∴ AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵
449. PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．
解析：如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵ EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵ ∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴ Rt△HPE≌Rt△HPF，∴ HE=HF，∴ PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a，PE?3a．在
Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴ DP?2PE?23a．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，
PHDP2a23a33DP?23a，∴ cos?DPH??? ．
450. 四面体对棱长分别相等，分别是a,b,c.求体积.
解析： 把四面体“嵌入”棱长为x,y,z的长方体(如图).其充分条件是 ?x2?y2?a2,?222?y?z?b, ?222z?x?c?有实数解
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??x?????y????z???c?a?b2a?b?c2b?c?a222222222
2如果关于x,y,z的方程组有实数解，则四面体体积 V＝xyz-4·
212132·(
12xy)·z＝
132xyz
＝(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)
2222222说明 对棱相等的四面体各面是全等的锐角三角形，本题采用了体积分割法，转化法求体积.
451. 如图1，线段AB?平面α，线段CD?平面β，且平面α∥平面β，AB⊥CD，AB＝CD＝a,α、β的距离为h，求四面体ABCD的体积.
图1 图2
解析：依题意可构造一个底面对角线长为a，高为h的正四棱柱(如图2). 显然，正四棱柱的底面边长为
22a.其体积为
V柱＝(
22a)2h＝
12a2h.
而三棱锥C—AC′B的体积为 V锥＝
16V柱.
故四面体ABCD的体积为 V＝V柱-4V锥＝V柱-＝
1346V柱
V柱＝
16ah.
2
说明 本题运用了“构造辅助体”的解题技巧.
452. 求棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线A1C1与AB1的距离.
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