因此函数f(x)在[?1,1]上的最大值是f(1)与f(?1)两者中的较大者．为使对任意的
?f(1)?1?b??2?a，不等式f(x)?1在[?1,1]上恒成立，当且仅当?，即?，a?[?2,2]?f(?1)?1?b??2?a在a?[?2,2]上恒成立．
所以b??4，因此满足条件的b的取值范围是(??,?4]． （2009）（21） （本小题满分14分） 设函数f?x???13x?x2??m2?1?x?x?R?，其中m?0 3（1）当m?1时，求曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线的斜率 （2）求函数f?x?的单调区间与极值
（3）已知函数f?x?有三个互不相同的零点0,x1,x2，且x1?x2，若对任意的
??x??x1,x2?,f?x??f?1?恒成立，求m的取值范围
（2009）（21）【答案】（1）1（2）f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)231m?m2?3 内增函数。函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)，且f(1?m)=321?m3?m2?3 函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且f(1?m)=3m?1时，f(x)?【解析】解：当
13x?x2,f/(x)?x2?2x,故f'(1)?13
1，f（1））所以曲线y?f(x)在点（处的切线斜率为1.
'22'f(x)??x?2x?m?1f（2）解：，令(x)?0，得到x?1?m,x?1?m
1?m?1?m 因为m?0,所以'f(x),f(x)的变化情况如下表： 当x变化时，
x f'(x) (??,1?m) + 1?m 0 (1?m,1?m) 1?m - 0 (1?m,??) + 11
f(x) 极小值 极大值 f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。 231m?m2?3 函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)，且f(1?m)=321?m3?m2?3 函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且f(1?m)=311f(x)?x(?x2?x?m2?1)??x(x?x1)(x?x2)33（3）解：由题设，
1?x2?x?m2?1所以方程3=0由两个相异的实根x1,x2，故x1?x2?3，且411??1?(m2?1)?0m??(舍)，m?322 ，解得
x1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2?3?12
因为
1x1?1?x2,则f(1)??(1?x1)(1?x2)?03若，而f(x1)?0，不合题意
若1?x1?x2,则对任意的x?[x1,x2]有x?x1?0,x?x2?0,
1f(x)???x(x?x1)(x?x2)?03则又f(x1)?0，所以函数f(x)在x?[x1,x2]的最小值
f(1)?m2?1?03,解
为0，于是对任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立的充要条件是
?得
33?m?33
13(,)综上，m的取值范围是23
【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。 （2010）（20）（本小题满分12分）
12
已知函数f（x）=ax?332x?1(x?R)，其中a>0. 2（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间???11?,?上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 22??（2010）（20）(20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=x?332x?1，f（2）=3；f’(x)=3x2?3x, f’(2)=6.21. a所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=3ax2?3x?3x(ax?1).令f’(x)=0，解得x=0或x=以下分两种情况讨论： （1） 若0?a?2，则11?，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： a20 X ?1?0? ??，?2?+ ?1??0，? ?2?- f’(x) f(x) 0 极大值 1?5?a??0,f(?)?0,?????11?82即? 当x???，?时，f（x）>0等价于?
15?a22???f()?0,??0.???2?8 解不等式组得-5
（2） 若a>2，则0?11?.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： a20 0 极大值 X f’(x) f(x) ?1?0? ??，2??+ ?1??0，? ?a?- 1 a0 极小值 ?11??，? ?a2?+ ?5?a?1>0,f(-)>0,???2?8?11?当x???，?时，f（x）>0等价于?即?
?22??f(1)>0,?1-1>0.???a?2a2解不等式组得
22?a?5或a??.因此2
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0
（2011）（19）(本小题满分14分) 已知函数f?x??4x3?3tx2?6t2x?t?1，其中
t?R．
(Ⅰ) 当t?1时，求曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程；
(Ⅱ) 当t?0时，求f?x?的单调区间；
(Ⅲ) 证明：对任意t??0,???，f?x?在区间?0,1?内存在零点．
（2011）（19）【解】(Ⅰ) 当t?1时，f?x??4x3?3x2?6x，f?0??0，
f??x??12x2?6x?6，f??0???6．
所以曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程为y??6x． (Ⅱ) f??x??12x2?6tx?6t2，令f??x??0，解得x??t或x?t2． 因为t?0，所以要分为t?0和t?0讨论． (1) 若t?0,则
t2??t. 当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下表：
x ????,t?????t,??? ?2? ?t?2,?t??? f??x? ? ? ? f?x? 单调递增 单调递减 单调递增 所以，f?x?的单调增区间是????,t???2??，??t,???，单调减区间是?t??2,?t??． (2) 若t?0,则?t?t2. 当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下表：
x ???,?t? ?????t,t?2? ?t??2,?????
14
f??x? f?x? ? 单调递增 ? 单调递减 ? 单调递增 所以，f?x?的单调增区间是???,?t?，?t??t??,???，单调减区间是??t,?． ?2??2?t?2??t?需,???内单调递增．
2?? (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知，当t?0时，f?x?在?0,?内单调递减，在?要讨论
??t与讨论的区间?0,1?的相互位置关系． 2t(1) 当?1，即t?2时，f?x?在?0,1?内单调递减，
2因为f?0??t?1?0，f?1???6t?4t?3??6?4?4?2?3?0，
2所以对任意t??2,???，f?x?在区间?0,1?内存在零点． (2) 当0?t?t??t??1，即0?t?2时，f?x?在?0,?内单调递减，在?,1?内单调递增． 2?2??2?若t??0,1?，f?73?t???t?t?1?0， ?24??f?1???6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0．
所以对任意t??0,1?，f?x?在区间?,1?内存在零点．
?t??2?若t??1,2?，f?7373?t???t?t?1??t?1?0， ?244??f?0??t?1?0．
所以对任意对任意t??0,1?，f?x?在区间?0,?内存在零点． 所以对任意t??0,2?，f?x?在区间?0,1?内存在零点． 综合以上，对任意t??0,???，f?x?在区间?0,1?内存在零点．
(2012) （20）（本小题满分14分）
??t?2? 15