PA?3PB?52??3c?4y??5，
当且仅当y?23c3c时，等号成立，于是，当y?时，PA?3PB有最小值5． 44解法2 ． 以相互垂直的向量DP，DA为基底表示PA?3PB，得
? PA?3PBDA?D?P3P?C35C?B2?3A?D?PC． DP?又P是腰DC上的动点，即PC与DP共线，于是可设PC??DP，
5DA?(3??1)DP． 2222255??DA??(3??1)DP???(3??1)DA?DP 所以PA?3PB?42222225PA?3PB?DA?(3??1)DP?25?(3??1)DP 即 ．
411由于P是腰DC上的动点，显然当??，即PC?DP时，
33 有PA?3PB???所以PA?3PB有最小值5．
解法3 ．如图，3PB?PF，设E为AF的中点，Q为AB的中点，则QE?FCPTD2221BF?PB， 21abBEG2PA?3PB?PA?PF?2PE， ①
因为PB?PQ?PE，PB?PQ?QB． 则
QAS PB?PQ?PB?PQ?2PB?2PQ?PE?QB． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T为DC的中点，则TQ为梯形的中位线，TQ?设P为CT的中点，且设CP?a,PT?b，
2则PB?a?1，PQ?b?2222912，QB??a?b??， 4422213?AD?BC??． 22代入式②得
212?29? 2PB?2PQ?2?a?1??2?b???PE??a?b??，
4?4?222于是PE?225252??a?b??，于是2PE?5，当且仅当a?b时，等号成立． 4436
由式①，PA?3PB?2PE?5， 所以PA?3PB有最小值5．
（2012）（8）【解析】如图，设AB?b,AC?c ，则b?1,c?2,b?c?0，又
BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，由BQ?CP??2得[?b?(1??)c]?(?c??b)?(??1)c??b?4(??1)????2，即3??2,??选B.
【答案】B
222，3立体几何（选择填空部分）
（2008）（5）设a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是
（A）a??,b//?,??? （B）a??,b??,?//? （C）a??,b??,?//? （D）a??,b//?,???
（2008）（13）若一个球的体积为43?，则它的表面积为________________． (2009)(12) 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a?__________
(2010)(12) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
37
(2011) (10)一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m．
(2012) （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积
3m3.
（2008）（5）解析：选C，A、B、D的反例如图．
（2008）（13） 解析：由
4?3R?43?得R?3，所以S?4?R2?12?． 3（2009）（12）【答案】3
【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高位a，侧棱长为3，结合面积公式可以得到
V?sh?1?2?a?3?332 ，解得a=3
(2010) (12)3
(2011)(10) 【解】4．
几何体是由两个长方体组合的．体积为 V?1?2?1?1?1?2?4．
(2012)(10) 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成
38
的组合体。长方体的体积为3?4?2?24，五棱柱的体积是体的总体积为30。 【答案】30
(1?2)?1?4?6，所以几何2立体几何（解答题部分）
（2008）（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形．已知
AB?3,AD?2,PA?2,PD?22,?PAB?60?．
（Ⅰ）证明AD?平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P?BD?A的大小．
（2008）（19）（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：在?PAD中，由题设PA?2,PD?22可得
PA2?AD2?PD2于是AD?PA.在矩形ABCD中，AD?AB.又PA?AB?A，
所以AD?平面PAB．
（Ⅱ）解：由题设，BC//AD，所以?PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角. 在?PAB中，由余弦定理得
PB?PA2?AB2?2PA?AB?cosPAB?7
由（Ⅰ）知AD?平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD?PB，因而BC?PB，于是?PBC是直角三角形，故tanPCB?PB7?． BC27． 2所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan（Ⅲ）解：过点P做PH?AB于H，过点H做HE?BD于E，连结PE
因为AD?平面PAB，PH?平面PAB，所以AD?PH.又AD?AB?A， 因而PH?平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知， BD?PE，从而?PEH是二面角P?BD?A的平面角。 由题设可得，
39
PH?PA?sin60??3,AH?PA?cos60??1,BH?AB?AH?2,BD?AB2?AD2?13,
AD4HE??BH?BD13于是再RT?PHE中，tanPEH?39 439． 4所以二面角P?BD?A的大小为arctan
（2009）（19） （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?平面ABCD，AD?CD，DB平分?ADC，E为的PC中点，AD?CD?1,DB?22 （1）证明：PA//平面BDE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：AC?平面PBD
（3）求直线BC与平面PBD所成角的正切值
1（2009）（19）【答案】（1）略（2）略（3）3
【解析】 证明：设AC?BD?H，连结EH，在?ADC中，因为AD=CD，且DB平分
?ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH//PA,又
HE?平面BDE,PA?平面BDE,所以PA//平面BDE
（2）证明：因为PD?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD?AC 由（1）知，BD?AC,PD?BD?D,故AC?平面PBD
(3)解：由AC?平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以?CBH为直线与平面PBD所成的角。
由AD?CD,
AD?CD?1,DB?22,可得DH?CH?232,BH?22
在Rt?BHC中，
tan?CBH?1CH1?BH3,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为3。
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