a2?a1?1， a3?a2?q， ??
an?an?1?q2，（n?2）． 将以上各式相加，得an?a1?1?q??qn?2（n?2）
． ?1?qn?1所以当n?2时，a?1?,q?1,n??1?q
??n,q?1.上式对n?1显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q?1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q?1． 由a53?a6?a9?a3可得q?q2?q2?q8，由q?0得q3?1?1?q6， ① 整理得(q3)2?q3?2?0，解得q3??2或q3?1（舍去）．于是q??32．
qn?2?qn?1qn?1另一方面，aa3n?n?3?1?q?1?q(q?1)，
qn?1 a??qn?5qn?1n?6?an1?q?1?q(1?q6)．
由①可得a*n?an?3?an?6?an，n?N．
所以对任意的n?N*，an是an?3与an?6的等差中项． （2009）（20） （本小题满分12分）
已知等差数列?an?的公差不为0.设
Sn?a1?a2q??an?1nq,Tn?1n?a1?a2q????1?an?1nq
（1）若
q?1,a1?1,S3?15，求数列?an?的通项公式
（2）若a1?d，且
S1,S2,S3成等比数列，求q的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21
（3）若q??1，证明
?1?q?S2n??1?q?T2n?2dq?1?q2n?1?q2
（2009）（20）【答案】（1）
an?4n?3（2）q??2（3）略
2S?a?(a?d)q?(a?2d)q,将q?1,a1?1,S3?15 3111【解析】 （1）解：由题设，
a?4n?3n?N*
代入解得d?4，所以n2a?d,S?d,S?d?2dq,S?d?2dq?3dq,?S1,S2,S3成等比数列，1123（2）解：当
22S?SS（d?2dq）?d（d?2dq?3dq)，注意到d?0，整理得q??2 213所以，即
2n?1b?qn（3）证明：由题设，可得，则
S2n?a1?a2q?a3q2??a2nq2n?1 ① T2n?a1?a2q?a3q2???a2nq2n?1 ②
①-②得，
S2n?T2n?2(a2q?a4q3???a2nq2n?1)
①+②得，
S2n?T2n?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) ③
22n?2q(S?T)?2(aq?aq???aq) 2n2n132n?1③式两边同乘以 q，得
(1?q)S2n?(1?q)T2n?2d(q?q???q所以（3）证明：
32n?12dq(1?q2n))?1?q2
c1?c2?(ak1?al1)b1?(ak21?al2)b2?(akn?aln)bnn?1(k?l)db?(k?l)dbq???(k?l)dbq111221nn1=
因为d?0,b1?0，所以
c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1db1
若若
kn?ln，取i=n，
kn?ln，取i满足ki?li，且kj?lj，i?1?j?n
22
由（1）（2）及题设知，1?i?n，且
c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1db1
当
ki?li时，ki?li??1，由q?n，ki?li?q?1,i?1,2?,i?1
i?2(k?l)q即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1),?i?1i?1?q(q?1)i?2
c1?c21?qi?1i?2i?1?(q?1)?(q?1)q???(q?1)q?q?(q?1)?qi?1??1db11?q所以
因此c1?c2?0
c1?c2??1,k?ldbi时，同理可得1当i因此c1?c2?0
综上，c1?c2
【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 （22）（本小题满分14分） （2010）
（2010）（22）本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（I）证明：由题设可知， a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，a5?a4?4?12，
a6?a5?6?18。
从而
a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*
所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1 ?2k?k?1?,k?N*.
由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2.
23
?n2?1n,n为奇数2??1?1??n?2所以数列?an?的通项公式为an??或写为an?，n?N*。 ??n2??2,n为偶数24（III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2， 以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?
n?1，则2n??k2若m?2，
k?2ak若m?2，则
?nk2m?2k?2m?1?2k?1?2m4k2m?1?k?2a?kk?1a??2kk?1a??4k2?4k?12k?1k?12k2??k?12k?k?1? m?1 ?2m????4k2?4k1?m?1?k?1?2k?k?1??2k?k?1???2m???k?1??2?1?2?1?k?1?k?1????? ?2m?2?m?1??1?2???11?m???n2?32?1n. n所以2n??k2?313nk2k?2ak2?n，从而2?2n???2,n?4,6,8,....
k?2ak（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。
?nk22m2?2m?2k?2a??k2?2m?1?311?kk?2a?ka?4m?2m?12?2m?2m?m?1? ?4m?12?12?m?1??2n?32?1n?1 n所以2n??k2?3?1，从而3n?2n?k?2a?k2?2,nk2n?12?3,5,7,....
k?2ak综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有
32?2n?Tn?2. （2011）（20）(本小题满分14分) 已知数列?an?与?bn?满足
n?1
bn?1an?bnan?1???2?n?1b?3???1?，
n2
24
，
n?N?，且a1?2．
(Ⅰ) 求a2，a3的值；
(Ⅱ) 设cn?a2n?1?a2n?1，n?N?，证明?cn?是等比数列． (
Ⅲ
)
设
Sn为
?an?的
前
n项
和
，
证
明
S1a?S2??S2n?1a?S2n?n?11a22n?1a2n3?n?N??
（2011）（20）【解】(Ⅰ) 因为b3???1?n?1n?2，n?N??2,n為奇數,?，所以bn??1,n為偶數.又bnn?1an?bnan?1???2??1，
当n?1时，a31?2a2??1，由a1?2，得a2??2； 当n?2时，2a2?a3?5，得a3?8； (Ⅱ) 对任意n?N?,有
a2n?1?2an?12n??22?1， ① 2a2n?a2n?1?22n?1， ② ②－①得 a2n?12n?1?a2n?1?3?2．
即 cn?a2n?1?a2n?1?3?22n?1， 于是
cn?1c?4， n所以?cn?是等比数列．
(Ⅲ)解法1．a1?2，由(Ⅱ)可得当k?N?且k?2时， a2k?1?a1??a3?a1???a5?a3???a7?a5????a2k?1?a2k?3?
?2?3?2?32?52?k?2??2 3
：
25