控制理论第五章习题
5-1 设一线性系统的传递函数为
G(s)?10(s?1)10(s?1) ?s2?4s?20(s?2?j4)(s?2?j4)5-1
试绘制该系统的幅频和相频特性曲线。
解 令s?j2，代入式（5-1），得
G(j2)?
10(j2?1)105?63.4???1.25?36.8?(j2?2?j4)(j2?2?j4)(40?71.6?)(8??45?)上述结果表明，??2时，频率特性的幅值G(j2)?1.25，相角??36.8?。给出不同的频率?值，重复上述的计算，就可求得对应的一组G(j?)和?(?)值。据此，也可由下面的MATLAB函数绘制出图5-2所示的幅频特性曲线和相频特性曲线。
function exe51
G=tf(10*[1,1],[1,4,20]； X=[];Y=[];w=logspace(-1,1,100)； [x,y,w]=bode(G)； %X=[X,x'];Y=[Y,y']；
figure(1),plot(w,x(:)),axis([0,10,0,3]),xlabel('频率（弧度）'),ylabel('
幅值')；
figure(2),plot(w,y(:)),axis([0,10,-120,40]),xlabel('频率（弧度）
'),ylabel('相角')
32.521.51 40200-20??à?è?ù·-40-60
5-2 试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：
G(s)H(s)?10
(1?s)(1?0.1s)解 该开环系统由三个典型环节串联组成：一个比例环节G1(s)?K、两个一阶惯性环节G2(s)?11和G3(s)?。这三个环节的幅、相频率特性分别为 1?s1?0.1sG1(j?)?1011 ?e?jarctg?21?j?1??11G3(j?)??e?jarctg0.1?1?j0.1?1?(0.1?)2G2(j?)?因而开环系统的幅频特性为
G(j?)H(j?)?
相频特性为
101??21?(0.1?)264Nyquist DiagramsFrom: U(1)Imaginary Axis?(?)??arctg??arctg0.1? 取不同的频率?值，可得到对应的幅值和相角，根据这些值可得图5-3所示的开环系统的2To: Y(1)0-2-4-6-20246810Real Axis图5-3 开环系统的奈氏图
奈氏图。
事实上，MATLAB中有专门的函数Nyquist用于绘制开环系统的极坐标图。
g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1])) Transfer function：
10
------------------- 0.1 s^2 + 1.1 s + 1 Nyquist(g)
5-3 已知０型系统、Ｉ型系统和II型系统的开环传递函数分别为
G0(s)?K1010G(s)?、、 G(s)?2132s(1?s)(1?s)s(1?s)试绘制它们对应的奈氏图。
解 ０型系统的频率特性为
G(j?)?KK?ej?(?) 3(1?j?)(1??2)3式中：?(?)??3arctg?。分别取K?5或10，计算出不同?值时的G(j?)和?(?)，可得图5-15所示的奈氏图。根据第三章劳斯判据可知，K?5时闭环系统稳定，表现在奈氏图上是极坐标图不包围（－1，j0），这与后面将介绍的奈氏稳定判据是一致的。
I型系统的频率特性为
4
Nyquist
8
6
K=10
2
K=5
Imaginary 0
-2
G(j?)?1010?ej?(?)
j?(1?j?)?1??2式中：?(?)??90??arctg?。将上式改写为
10??2?j??1010G(j?)????j
??2?j???2?j?1??2???3由上式可知，当??0时，G(j0)??10?j?，即G(j0)????90?；当???时，
G(j?)?0??180?，据此可得图5-5所示的奈氏图。
Ⅱ型系统的开环频率特性为
G(j?)?1010j?(?)?e
(j?)2(1?j?)?21??2式中：?(?)??180??arctg?。将上式改写为
G(j?)?101?j??1010 ???j22223??1???(1??)???由上式可知，当??0时，G(j0)????j?；当???时，G(j?)?0??270?，与正虚轴相切，据此可得图5-6所示的奈氏图。
由于采用了MATLAB方法，对于I、II型系统在无穷远处的极坐标无法在图中标明，但从图中可以看到，当频率接近零时，对于I型系统，极坐标曲线渐近于平行于虚轴的-10线，而对于II型系统则无此性质，这一点可将幅值频率特性写成实频、虚频形式得到验证。
50Nyquist DiagramsFrom: G2403020100-10-20-30-10-50-40-15403020100-10-20-30-40-50-15Nyquist DiagramsFrom: G3
-10-50图5-5 I型系统的奈氏图 图5-6 II型系统的奈氏图 5-4 已知一反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?10(1?0.1s)
s(1?0.5s)试绘制开环系统的伯德图。
解 1）系统的开环频率特性为