10(1?jG(j?)??10 ?j?(1?j)2)由此可知，该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为
L(?)?L1(?)?L2(?)?L3(?)?L4(?)
?20lg10?20lg??20lg1?()2?20lg1?()2
210系统的相频特性为
???(?)??1(?)??2(?)??3(?)??4(?)
?0??90??arctg?2?arctg?10
2）系统的转折频率分别为2和10。
3）作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。在低频段，v?1，则渐近线的斜率为
?20dB/dec。在??1处，其幅值为20lg10?20dB；当??2时，由于惯性环节对信号
幅值的衰减任用，使分段直线的斜率由?20dB/dec变为?40dB/dec；同理，当??10时，由于微分环节对信号幅值的提升任用，使分段直线的斜率上升20dB/dec，即由
?40dB/dec变为?20dB/dec。
4）对幅频特性曲线进行修正。
5）作系统相频特性曲线，先求?1(?)~?4(?)，然后叠加。
-100-120-140-160-180-1101003020100-10-20-110100101101图5-7 开环系统的频率特性
系统伯德图如图5-7所示。用MATLAB语句绘制Bode图的程序为
% exe5_4 function exe5_4
G=tf(10*[0.1,1],conv([1,0],[0.5,1]))；%得到传递函数 [x0,y0,w]=bode(G)；%由Bode函数获取幅值和相角 [x,y]=bode_asymp(G,w)；%得到转折频率
subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)；%画幅频曲线和渐近线 subplot(212),semilogx(w,y0(:))；%现相频曲线 5-5 系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?5
(s?0.5)(s?1)(s?2)Nyquist Diagrams4试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。
解 当?由????变化时，G(j?)H(j?)曲线如图5-8所示。因为G(s)H(s)的开环极点为-0.5、-1和-2，在s的右半平面上没有任何极点，即P=0，由图5-39可知，奈氏曲线不包围（-1，j0）点，因此N＝0，则Z=N+P=0。所以，该闭环系统是稳定的。
5-6 反馈控制系统的开环传递函数为
Imaginary AxisImaginary Axis20-2Nyquist Diagrams87.5-476.5-265.554.543.532.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-4.5-5-5.5-6-6.5-7-7.5-8-6-5024Real Axis图5-8 10G(s)H(s)?
s(1?s)(s?2)试判别该系统的稳定性。
0(-1,J0) -4-3-2-1012Real Axis图5-9
解 由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，在s平面上的奈氏轨线如图5-9所示。该图的C2部分在GH平面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆，若将它与图5-9的奈氏曲线G(j?)H(j?)相连接，则有N＝2，而系统的P＝0，因而Z＝2，即闭环系统是不稳定的，且有2个闭环极点位于s的右半平面。
5-7 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?K(T2s?1)
s2(T1s?1)试分析时间常数T1和T2的相对大小对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的奈氏图。
解 由系统的开环传递函数得
G(j?)H(j?)?K1?(?T2)2?21?(?T1)2
?(?)??180??arctg?T2?arctg?T1
根据以上两式，在T1?T2，T1?T2和T1?T2三种情况下的G(j?)H(j?)曲线如图5-43所示。当T1?T2时，G(j?)H(j?)曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。当T1?T2时，
G(j?)H(j?)曲线通过（-1，j0）点，说明闭环极点位于j?轴上，闭环系统不稳定。当T1?T2时，G(j?)H(j?)曲线以顺时针方向包围（-1，j0）点旋转两周，这意味着有2个
闭环极点位于s右半平面上，闭环系统不稳定。
T1?T2T1?T2图5-10
T1?T2
5-8 已知一单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?K Ts?1试用奈氏判据确定该闭环系统稳定的K值范围。
解 该系统是一个非最小相位系统，其开环系统的幅频特性和相频特性为
G(j?)?K1??T22
GH平面 Im ?(?)??180??arctg?T
和惯性环节一样，它的奈氏图也是一个圆，如图5-44所示。由于系统的P＝1，当?由????变化时，G(j?)曲线如果以逆时针方向围绕（-1，j0）点旋转一周，即N＝-1，则Z＝1－1＝0，表示闭环系统是稳定的。由图5-11可见，仅当K＞1时映射曲线才会对（-1，j0）点产生围绕，所以系统稳定的条件是K＞1。
5-9 设一时滞控制系统如图5-12所示。已知图中的G1(s)?1/s(s?1)(s?2)，试分析滞后时间?对系统稳定性的影响。
解 系统的开环传递函数为
图5-11 非最小相位系统奈氏图
?K??0????0Re e??sG(s)??G1(s)e??s
s(s?1)(s?2)（5-14）
图5-13给出了?值为0、2、4时的式（5-14）的奈氏曲线。由图可见，当滞后时间??0时，系统相当于无时滞环节，G1(j?)不包围（-1，
j0），闭环系统稳定；当??2时，G(j?)刚好经过（-1，
??0.3R(s)??G1(s)e??sC(s)图5-12 时滞控制系统
j0），系统处于临界稳定状态；当??4时，G(j?)包围（-1，j0）点，闭环系统不稳定。可见，时滞时间的增大，
??0.1??0.3??0.3??0.1??0.1图5-13
对控制系统的稳定性是极为不利的。
5-10 已知单位负反馈最小相位系统A的开环频率特性曲线如图所示， （1）试求系统A的开环传递函数，并计算相位裕量；
（2）如把曲线1的abc改为ab'c而成为系统B，试定性比较A与B的性能。
dBa?20b?40c?201/41/221?405??60
（1）系统的传递函数为
K(2s?1)
G(s)? s(4s?1)(0.5s?1)(0.2s?1)由于
22L(1)?20lgK?20lg1?20lg1?2?20lg1?4
?20lg1?0.52?20lg1?0.22?0得 K ? 2 .1 ，所以传递函数为
2.1(2s?1)G(s)?
s(4s?1)(0.5s?1)(0.2s?1) ?(?)??90??arctan2??arctan4??arctan0.5?
?arctan0.2? ?(?c)??140.43?