相位裕量： ??180???(?c)?39.57?
（2）A是Ⅰ型系统，B是Ⅱ型系统，系统B对于阶跃输入和斜坡输入的稳态误差为0，可跟随抛物线函数输入，而系统A对于抛物线函数输入的稳态误差为∞。
5-11 若某二阶环节的 为正值的幅相特性如图所示，图a中A点频率 ， 时幅相特性的实部为-2a，a为大于零的常数。求：
（1）开环传递函数；
? 1（2）若 a ，试求 ? 1 、 ? 2 、 ? 3 。
（1）系统开环传递函数为：
由图可知： ??KT??2a?G(s)?Ks(Ts?1)??KT??a ??1?4T2
?T?0.5??K?4a所以，系统开环传递函数为： G(s)?
4as(0.5s?1)? 1（2）由于 a ，则 ?3?K?4a?4由近似对数幅频特性曲线可知： 得： 得
5-12 已知一单位反馈系统的开环传递函数为
20lg4?20lg?2?20lg0.5?2?0?2?2.840lg??2?20lg3?1?1?1?1.96G(s)?K
s(1?0.2s)(1?0.05s)试求：（1）K＝1时系统的相位裕量和增益裕量。（2）要求通过增益K的调整，使系统的增
益裕量20lgKg?20dB，相位裕量??40?。
解 1）在?g处的开环频率特性的相角为
?(?g)??90??arctg0.2?g?arctg0.05?g??180?
即 arctg0.2?g?arctg0.05?g?90? 对上式取正切，由三角函数性质得
tg(arctg0.2?g?arctg0.05?g)?1?0.2?g?0.05?g?0
得 ?g?10
则在?g处的开环对数幅值为
0.2?g?0.05?g1?0.2?g?0.05?g??
1010L(?g)?20lg1?20lg10?20lg1?()2?20lg1?()2
520??20lg10?20lg2.236?20lg1.118??28dB
则 20lgKg??L(?g)?28dB
根据K?1时系统的开环传递函数，可知系统的?c?1，从而
?(?c)??90??arctg0.2?arctg0.05??104.17? ??180???(?c)?76?
该题也可用MATLAB直接求解，其结果见图5-15。
g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1]))) Transfer function: 1
----------------------- 0.01 s^3 + 0.25 s^2 + s margin(g)
Magnitude (dB)500-50-100Bode DiagramsGm=27.959 dB (at 10 rad/sec), Pm=76.103 deg. (at 0.98015 rad/sec)
可见，两者结果完全相同。同样，也可用[Gm,Pm,Wcg,Wcp]＝margin(g)不作图而求出增益裕量Gm和相位裕量Wcg。
2）由题意得Kg?10，即G(j?g)?0.1。在?g?10处的对数幅值为
101020lgK?20lg10?20lg1?()2?20lg1?()2?20lg0.1
520上式简化后为
20lgK?20lg0.1
10?2.236?1.118得 K?2.5
根据??40?的要求，有
?(?c)??90??arctg0.2?c?arctg0.05?c??140?
即 arctg0.2?c?arctg0.05?c?50?
tg(arctg0.2?c?arctg0.05?c)?得 ?c?4
0.2?c?0.05?c?tg50??1.2
1?0.2?c?0.05?c于是 L(?c)?20lgK?20lg4?20lg1?()?20lg1?(45242)?20lg1 20即 20lgK?20lg1
4?1.28?1.02得 K?5.22
不难看出，K取2.5就能同时满足Kg和?的要求。 5-13已知二个控制系统的传递函数分别为
系统I：
C(s)1C(s)1，系统Ⅱ： ??R(s)s?1R(s)3s?1试比较两个系统带宽的大小，并验证具有较大带宽的系统比具有较小带宽的系统响应速度快，对输入信号的跟随性能好。
解 图5-16a为上述两系统的闭环对数幅频特性曲线，可见，系统I的带宽为0???1，系统Ⅱ的带宽为0???0.33，即系统I的带宽是系统Ⅱ带宽的三倍。图5-16b给出了两系统的阶跃响应曲线。显然，系统I较系统Ⅱ具有较快的阶跃响应，并且前者跟踪阶跃输入的性能也明显优于后者。 Phase (deg); Magnitude (dB)Bode Diagrams01Step ResponseG1 -10-20-300-50-100G2 0.8Amplitude G1 G2 0.60.40.20G1 G2 在设计系统时，应注意到较大的带宽虽然能提高系统响应的速度，但也不能过大，否则Time (sec.)18-2-101因其高通滤波的性质，降低系统过滤高频噪声的能力，因此频带宽度的选取应互相兼顾。 1510101010036912 图5-16a ?两系统的闭环对数幅频特性 图5-16b 两系统的单位阶跃响应曲线 5-14某一阶环节的 为正值的幅相特性曲线如图所示，写出其传递函数。
Frequency (rad/sec)Im24Re??2??5
解：设一阶环节的传递函数为：
KG(s)? Ts?1则由图可知：
44
??2222T?0.2K?4 ?T?125T?1
4所以，
G(s)? 0.2s?1
K(s?1)5-15已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?,K?0 s(s?1)应用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。
解：系统的开环频率特性为：
K(j??1)
G(j?)H(j?)? j?(j??1) K1??2K? G(j?)H(j?)?2??1??0?K??10? ?G(j?)H(j?)?180??arctan??90??arctan?
?90??2arctan? ?21??2)?G(j?)H(j?)?K?2?j ??1)?(?2?1)???
奈氏曲线顺时针包围点 ( ? 1 , j 0 ) 一周，且 P ? 0 ， Z ? 1 ，闭环系统不稳定。
5-16 设开环系统Nyquist曲线如下图所示,要求(1)判断闭环系统稳定性,并简要说明理由。(2)如系统不稳定,试求出位于s右半平面的闭环极点数。