2???1?k?0?k??1∴?,?22???3?k?3 ???(?4k)?4?6(1?k)?0??∴k?(?3,3)且k??1 ② E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得
x1?x2?4k6xx??121?k2，1?k,于是
设
EF?(x1?x2)2?(y1?x2)2?(1?k2)(x1?x2)2222223?k2?1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?.1?k2
d?而原点O到直线l的距离
21?k2，
S?OEF∴
2112223?k22223?k?d?EF???1?k??.222221?k1?k1?k
S?22，则有
若?OEF面积不小于22,即?OEF223?k21?k2?22?k4?k2?2?0,解得?2?k?2. ③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为 k?[?2,2且]k?? 1解法2：依题意，可设直线l的方程为y?kx?2，代入双曲线C的方程并整理，得 (1?k)x?4kx?6?0
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E,F
2???1?k?0?k??1??22??(?4k)?4?6(1?k)?0???3?k?3. ??∴?22∴k?(?3,3)且k??1. ②
设
E(x1,y1),F(x2,y2)则由①式得
2?223?k2x1?x2?(x1?x2)?4x1x2??.1?k21?k2
③
当E、F在同一支上时（如上左图所示），
S?OEF?S?ODF?S?ODE?11OD?x1?x2?OD?x1?x2;22
当E、F在不同支上时（如上右图所示）.
S?OEF?S?ODF?S?ODE综上得
?11OD?(x1?x2)?OD?x1?x2.22
S?OEF?1OD?x1?x2,2于是
由
OD?2S?OEF及③式，得
223?k2?.21?k
若△OEF面积不小于2
2,即S?OEF?22,则有
223?k21?k2?22?k4?k2?0,解得?2?k?2. ④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为k?[?2,2]且k??1
20.(本小题满分12分)
水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
1x?2?(?t?14t?40)e4?50,0?t?10,V(t)????4(t?10)(3t?41)?50,10?t?12.
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i?1?t?i表示第1月份（i?1,2,?,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e?2.7计算）. 解：（Ⅰ）①当0?t?10时，V(t)?(?t?14t?40)e解得t?4，或t?10，又0?t?10，故0?t?4.
21x4?50?50，化简得t2?14t?40?0,
②当10?t?12时，V(t)?4(t?10)(3t?41)?50?50，化简得(t?10)(3t?41)?0,
10?t?解得
413，又10?t?12,故10?t?12.
综合得0?t?4,或10?t?12；
故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
t123114V(t)?c(?t?t?4)??c(t?2)(t?8),424由
'1t4'V令(t)?0，解得t?8(t??2舍去). 'Vt当变化时，(t)与V(t)的变化情况如下表：
t V'(t) V(t) (4,8) + 8 0 极大值 (8,10) - ? ? 2V(t)V(8)?8e?50?108.32(亿立方米). 由上表，在t＝8时取得最大值
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
21.(本小题满分14分)
已知数列
a1??,{an}和{bn}满足：
an?1?2an?n?4,bn?(?1)n(an?3n?21),3其中?为实数，
n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数?，证明数列（Ⅱ）试判断数列
{an}不是等比数列；
{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0?a?b,
Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数?，使得对任意正整数n，都有
a?Sn?b?若存在，求?的取值范围；若不存在，说明理由.
2{a}a?a1a3,即 ?n2解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有
2444(??3)2??(??4)??2?4??9??2?4??9?0,3999 矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
2bn?1?(?1)n?1[an?1?3(n?1)?21]?(?1)n?1(an?2n?14)3(Ⅱ) 解：因为 22??(?1)n(an?3n?21)??bn33
又
b1??(??18) 所以
?b?0(n?N)，此时{bn}不是等比数列； ???18当，nba?12??b??(??18)?0，由上可知bn?0，∴bn3(n∈N+).
当???18时，12{b}故当???18时，数列n是以?(??18)为首项，3为公比的等比数列.
??b?0(n?N)，Sn?0，不满足题目要求；. ???18n(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当，
2bn??(??18)?(?)n?13∴???18，故知，于是可得 32Sn??(??18)?[1?(?)n]53
32a??(??18)?[1?(?)n]?b(n?N?)a?Sn?b对任意正整数n成立， 即53要使
3b??(??18)? (n?N?)2251?(?)n1?(?)n33得 ①
2f(n)?1?(?)n3，则 令
1?f(n)?当n为正奇数时，
a55?f(n)?13，当n为正偶数时9；
?f(n)的最大值为
f(1)?55f(2)?3，f(n)的最小值为9,
533a??(??18)?b55??b?18????3a?18，(必须?b??3a即b?3a) 于是，由①式得9当a?b?3a时，由?b?18??3a?18，不存在实数满足题目要求；
a?Sn?b,且?的取值范围是
当b?3a存在实数?，使得对任意正整数n,都有
(?b?18?,a3?1 8)2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学（理工农医类）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 祝考试顺利 注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1、已知P?{a|a?(1,0)?m(0,1),m?R},Q?{b|b?(1,1)?n(?1,1),n?R}是两个向量集合，则PIQ?
A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝
1?ax1(x?R,且x??)的反函数是 1?axa1?ax11?ax1(x?R,且x??) B、y?(x?R,且x??) A、y?1?axa1?axa2.设a为非零实数，函数y?C、y?1?x1?x(x?R,且x?1) D、y?(x?R,且x??1)
a(1?x)a(1?x)3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为 A、
11 B、 34