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中考数学压轴题精选精析
（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，
0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－
12x＋b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，
试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
y D B C O
【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
【答案】（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝
E A x
3252
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
y32，如图25-a，
DCEOBAx图1 此时E（2b，0）
∴S＝
12OE·CO＝
1232b31＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
32＜b＜
52，如图2
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yDCBEOAx图2 此时E（3，b?32
），D（2b－2，1）
∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[
12(2b－1)×1＋
12×(5－2b)2(
52?b)＋
1233(b?32)]＝
52b?b2
?b??∴S???5b?b2?2?1?b?32?b?32 52（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与
矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！
yC1DCMBO1HONEAA1x图3
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，tan∠DEN＝
B112，DH＝1，∴HE＝2，
设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知：a?(2?a)?1，∴a?∴S四边形DNEM＝NE2DH＝
22254
54
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
54．
【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
【推荐指数】★★★★★
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（10浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y＝－x＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于
212
点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
（10重庆潼南）26.（12分）如图, 已知抛物线y?12x?bx?c与y轴相交于C，与x轴2相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最
大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，
若不存在，说明理由.
yy
BoCDA xEBoCA x26题图备用图
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（10重庆潼南）26. 解：（1）∵二次函数y?1)
∴?12x?bx?c的图像经过点A（2，0）C(0,－2?2?2b?c?0?c??1
解得： b=－
12 c=－1-------------------2分
∴二次函数的解析式为y?12x2?12x?1 --------3分
（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得，∴
ADAO?DEOC --------------4分
2?m∴DE=
212?m2?DE
-----------------------------------5分
∴△CDE的面积==?123
2?m23m
m24?m2=?14(m?1)2?14
当m=1时，△CDE的面积最大
∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为y?设y=0则0?12x2?12x?1
12x2?12x?1 解得：x1=2 x2=－1
∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1） 设直线BC的解析式为：y=kx＋b
??k?b?0∴ ? 解得：k=-1 b=-1
b??1?∴直线BC的解析式为: y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=90 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5
∵点B(－1,0) 点C（0，－1）
0
∴OB=OC ∠BCO=45
①当以点C为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k－1)
过点P作PH⊥y轴于H
0
∴∠HCP=∠BCO=45
CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k+k=
2
2
0
?5? 解得k=
21
102， k2=－
102102 ，
∴P1（
102，－
102?1） P2（－
102?1）---10分
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②以A为顶点，即AC=AP=5 设P(k, －k－1)
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣
222
在Rt△APG中 AG＋PG=AP
22
（2－k)+(－k－1)=5 解得：k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知
CP=PA=2k
∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜ 在Rt△PLA中
(2k)=(k－2)＋(k＋1) 解得：k=
2
2
2
52∴P4(
52,－
72) ------------------------12分
综上所述： 存在四个点：P1（P2（-
102，－
102?1）
102，
102?1） P3(1, －2) P4(
52,－
72)
（10四川宜宾）24．(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面y直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交ACA于点E，连接AP，当 △APE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最 大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
BC
O
x24题图