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当t=2时，此时N点的坐标（2,4）???????????????11分
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）
2
（10江苏盐城）28．（本题满分12分）已知：函数y=ax+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；
2
（2）如图所示，设二次函数y=ax+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上．．的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物
2
线y=ax+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
y
A
x B O
y 28．解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点???(1分)
1
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
4P 12
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y= x+x+1??（3分）
4
M （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C． Q 2
∵y=ax+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： 1 A B E 1
-2 y= x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 O 1 D C 4
坐标为A（0，1）???（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PC?BC，故PC=2BC，????????????????????（5分）
OBAOx 设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
1212
∵点P在二次函数y= x+x+1的图象上，∴-4-2x= x+x+1???????（6分）
44
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)?????????????（7分）
2
（3）点M不在抛物线y=ax+x+1 上?????????????????（8分） 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作
x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ
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1
∴QE∥MD，QE= MD，QE⊥CE
2
∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
1
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = 2816
CE=2QE=232BE=4BE，又CB=8，故BE= ，QE= 55
1816
∴Q点的坐标为(- ， ) 551432
可求得M点的坐标为( ， )???????????????????（11分）
55
11421414432∵()+()+1 = ≠ 455255∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax+x+1 上????????（12分） (其它解法，仿此得分)
（10浙江台州）24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，
B P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．2
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
CPEDQ （第24题） 24．（14分）（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴?HQD??C=90°，HD=HA， ∴?HDQ??A，????????????????????????????3分 ∴△DHQ∽△ABC． ??????????????????????????1分 BB
P
P DEED
Q Q
CAA CHH（图2） （2）①如图1，当（图1） 0?x?2.5时，
3ED=10?4x，QH=AQtan?A?x，
413315此时y?(10?4x)?x??x2?x． ????????????????3分
242475当x?5时，最大值y?．
324
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②如图2，当2.5?x?5时，
ED=4x?10，QH=AQtan?A?此时y?34x，
12(4x?10)?34x?32x2?154x． ????????????????2分
当x?5时，最大值y?754．
?3215??2x?4x(0?x?2.5),∴y与x之间的函数解析式为y??
3215?x?x(2.5?x?5).4?24（3）①如图1，当0?x?2.5时，
QA5若DE=DH，∵DH=AH=?x， DE=10?4x，
cos?A4y的最大值是
75．??????????????????????????1分
∴10?4x=
5421显然ED=EH，HD=HE不可能； ????????????????????1分
②如图2，当2.5?x?5时， 若DE=DH，4x?10=
x，x?40．
5411若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x?5； ?????????1分 若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
5x320EDDH4x?104∴，，x?． ??????????????1分 ??5103DHAD2xx44040320∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形. ,,5,2111103（其他解法相应给分）
x，x?40； ????????????????1分
（10浙江金华）24.
(本题12分)
如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为 （3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，
BA上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置
开 始以3
(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与3
OB，
AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线
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AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为
菱形，则t的值是多少？
② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的
坐标；
若不存在，请说明理由．
24．(本题12分)
y B E F l
A x O P (第24题图)
解：（1）y??3x?33；???4分 （2）（0,3），t?9；??4分（各2分） 2B y ） （3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1 ∵OE?FG,EP?FP,∠EOP?∠FGP?90° ∴△EOP≌△FGP，∴OP?PG﹒
?t tan6003F E 2 而AP?t，∴OP?3?t,PG?AP?AG?t
3x P G A O 29 由3?t?t得 t?；????????????????????????1(图1) 353y 分
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形； B M P 当点P在线段BA上时，
F 过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图E 2）H 又∵OE?FG?3t,∠A?60°,∴AG?FG1P′ ∵OE?33t,∴BE?33?33t,∴EF?BEtan600?3?t3 P′ ∴MP?EH?19?t， 又∵BP?2(t?6) EF?26O （图2)
A x 在Rt△BMP中，BP?cos600?MP
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即2(t?6)?分
19?t45，解得t?．???????????????????1?267y B ②存在﹒理由如下：
∵t?2，∴OE?23,AP?2，OP?1 3将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到 △B?EC（如图3）
∵OB⊥EF，∴点B?在直线EF上，
223，3－1） 33 过F作FQ∥B?C，交EC于点Q,
C点坐标为（
QD1 E C1 ′C Q O P F B′ A x 则△FEQ∽△B?EC
由分
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q?（－
(图3) BEB?ECE32）?????????1???3，可得Q的坐标为（－，FEFEQE332，3）也符合条件．??13分
（10山东烟台）26、（本题满分14分）
2
如图，已知抛物线y=x+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。 （1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（10江苏泰州）27.（12分）