三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.已知函数f(x)?asinxcosx?b(cosx?sinx)（x?R，a，b为常数），
22且f()??23?1，f()??. 4124（1）求f(x)的单调递增区间； （2）当x?[???,]时，求函数f(x)的最大值与最小值. 4419.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为BA，BC的中点，将?ADE，?DCF，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'，连接A'B. （1）求证：EF?平面A'BD；
（2）求A'D与平面BEDF所成角的正弦值.
20.已知函数f(x)?(x?x?1)?e. （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当x?[0,2]时，f(x)??x?2x?m恒成立，求m的取值范围.
22?xx2y2F2，21.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1，左顶点为A，点P(2,3)在椭圆C上，且?PF1F2ab的面积为23. （1）求椭圆C的方程；
16
（2）过原点O且与x轴不重合的直线交椭圆C于E，F两点，直线AE,AF分别与y轴交于点M，N，.求证：以
MN为直径的圆恒过交点F1，F2，并求出?F1MN面积的取值范围.
22.数列{an}，{bn}中，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1?b1?1，3Sn?(n?2)an，
bn?an?1(n?N*,n?2). an（1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求证：
111???a2a4a8?11?； a2n22?n?n2?cn，求证：Tn?(n?N*).
2n(n?1)（3）令cn?lnb，Tn?c1?c2?c3?
17
数学参考答案及评分标准
一、选择题 1-5:BCDBC 二、填空题 11.
6-10:DDABA
73，y?? x 22
12.
15， 6991 4
13.
32，16?162 3
14.4，108
15.4 16. 17.11 2三、解答题.
18.解：（1）由题得：f(x)?1asin2x?bcos2x， 2?3b?,??313?1?4由f()?，f()??，得?故a?,b?，
2424124?1a?3b??1,??424∴f(x)?当2k??131?sin2x?cos2x?sin(2x?)， 4423?2?2x??3?2k???2，k?Z时，f(x)的单调递增，
可得k???12?x?k??5?，k?Z， 12∴f(x)的单调递增区间为[k??（2）由（1）得f(x)?由??12,k??5?](k?Z)； 121?sin(2x?)， 235????1?2x??.∴?1?sin(2x?)?，
4463632??11故f(x)在[?,]上的最大值为，最小值为?.
4442??x??得：?19.解：（1）∵A'D?A'E,A'D?A'F，∴A'D?平面A'EF， 又EF?平面A'EF，∴A'D?EF， 由已知可得EF?BD，∴EF?平面A'BD；
（2）由（1）知平面A'BD?平面BEDF，则?A'DB为A'D与平面BEDF所成角，设BD，连A'M，EF交于点M，则A'M?BM?
2，DM?32，
18
又A'D?平面A'EF，A'M?平面A'EF，∴A'D?A'M， 在Rt?A'DM中，sin?A'BD?A'M21??， DM3231. 3?x∴A'D与平面BEDF所成角的正弦值为
20.解：（1）函数f(x)的定义域为{x|x?R}，f'(x)??(x?2)(x?1)e， ∵e?x?0，∴f'(x)?0，解得x?1或x?2，f(x)为减函数，
f'(x)?0，解得1?x?2，f(x)为增函数，
∴f(x)的单调递减区间为(??,1),(2,??)，单调递增区间为(1,2)； （2）∵f(x)??x?2x?m在x?[0,2]恒成立， ∴m?f(x)?x?2x?(x?x?1)?e令g(x)?(x?x?1)?e2?x22?x2?x2?2x，
?x2?2x，则g'(x)??(x?2)(x?1)e?x?2(x?1)，
(x?1)(2?x?2ex)当x?[0,1)时，g'(x)??0，
ex(x?1)(2?x?2ex)当x?(1,2)，g'(x)??0， xe∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，
11?1，∴m??1. ee121.解：（1）∵S?PF1F2??2c?3?23，∴c?2，
223又点P(2,3)在椭圆C上，∴2?2?1，∴a4?9a2?8?0，
aa?4∴g(x)min?g(1)?解得a2?8，或a2?1（舍去），又a2?b2?4，∴b2?4，
x2y2??1； 所以椭圆C的方程为84（2）∵A(?22,0)，F1(?2,0)，F2(2,0)，
方法一：当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，则M?0,2?，N(0,?2)，
?F1M?F1N，F2M?F2N，则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，
当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为y?kx(k?0)， 设点E(x0,y0)（不妨设x0?0），则点F(?x0,?y0)，
19
?y?kx2222k8?2x?y?由?x2y2，消去y得x?，所以，， 002221?2k?11?2k1?2k??4?8所以直线AE的方程为y?k1?1?2k2?x?22?，
22k1?1?2k2因为直线AE与y轴交于点M，令x?0得y?，
即点M(0,22k1?1?2k2)，同理可得点N(0,22k1?1?2k2)，
?F1M?(2,22k1?1?2k2)，F1N?(2,22k1?1?2k2)，?F1M?F1N?0，
?F1M?F1N，同理F2M?F2N，
则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2， 当EF的斜率存在且不为零时，
MN?22k1?1?2k2?22k1?1?2k222k?1?2k21??22?2?2?4， 2kk??F1MN面积为
1OF1?MN?4， 21OF1?MN?4， 2又当直线EF的斜率不存在时，MN?4，?F1MN面积为
??F1MN面积的取值范围是[4,??).
方法二：当E，F不为短轴的两个端点时，设E(x0,y0),(x0?0,x0??22)， 则F(?x0,?y0)，由点E在椭圆C上，∴x02?2y02?8， 所以直线AE的方程为y?y022y0(x?22)，令x?0得y?，
x0?22x0?22即点M(0,22y022y0)，同理可得点N(0,)，
x0?22x0?22228x0y08y02y?2?0， 以MN为直径的圆可化为x?y?2x0?8x0?8代入x02?8??2y02，化简得x2?y2?4x0y?4?0， y0令?
y?0,?x??2,解得 ?22?x?y?4?0,?y?0,?20