一个精确信息—男人，而其他信息都是模糊概念。但是，你将这些模糊概念 经过头脑的综合分析判断，就可以精确无误地接到这个人。如果这个问题要利 用计算机精确地来处理，那么就要求将此人的准确年龄与身高、胡子、头发的 准确长度与根数，眼镜的边宽厘米数，黑色的程度等一一输入计算机，刁一可以 找到此人。如果这个人的头发中途掉了一根的话，计算机就可能找不到这个人 了。由此可见，有时太精确了未必一定是好事，甚至可能会带来结果的很大误 差。
模糊数学的研究对象是客观世界里大量的模糊概念，从这些模糊概念里求
得数量规律，然后用精确的数学方法来处理它。模糊数学不是让数学变成模模 糊糊的东西，而是要计数学进入模糊现象这个禁区它也具有数学的共性:条理 分明、一丝不苟。即使描述模糊概念(或现象)，也会描述得清清楚楚。由扎德 教授创立的模糊数学是继经典数学、统计数学之后数学的一个新发展。统计数 第四章，J房地产估价相关的模糊数学理论
学将数学的应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域，模糊数学则把数学 的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的领域。
在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量大体上可以分成两大 类:确定性与不确定性，而不确定又可分为随机性和模糊性。人们正是用三种 数学来分别研究客观世界中不同的量:
在这种框架内，
数学模型可以分为三大类。
第一类是确定性数学模型。这类模型研究的对象具有确定性，对象之间具
有必然的关系。最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的数学模 型。
第二类是随机性数学模型。这类模型研究的对象具有随机性，对象之间具 有偶然性的关系。如用概率分布方法、马氏链所建立的数学模型。
第三类是模糊性数学模型。这类模型所研究的对象与对象之间的关系具有 模糊性。这就是本论文所讨论的模型。
为了弄清两种不确定性，下面介绍两种不确定性之间的区别。随机性的不 确定性，也就是概率的不确定性。例如，“明天有雨”，“掷一般子出现6点”等， 它们的发生是一种偶然现象，具有不确定性。在这里，事件本身是确定的，而 事件的发生不确定。只要时间过去，到了明天，“明天有雨”是否发生就变成确 定了。“掷一般子出现6点”，只要实际做一次实验，它就变成确定的了。而模 糊性的不确定性，即使时间过去了，或者实际做了一次实验，它们仍然不确定 的，具有模糊性，是由概念、语言的模糊性产生的。
模糊数学是一个新兴的数学分支。它应用微积分、线性代数、概率论和数
理统计等理论和方法来研究和处理日常生活中遇到的一些难以定量化的模糊概
念。
人们常把数学称为精确科学，因为它处理的都是精确概念，数量分明，要
求准确。但是日常生活中却有一些模糊概念，外延不分明，数量难确定，过去 第四章，J房地产估价相关的模糊数学理论
一直无法应用数学方法去处理，这种现象在房地产估价、土地管理科学中也是 处处可见。随着数学学科的发展，模糊数学的诞生，模糊概念已可能在一定的 精确(甚至非常精确)程度上定量化，从而用数学方法去处理。
模糊数学自诞生以来，围绕其学科本身及其在各方面的应用，已有了长足
的进展。如模糊优化、模糊决策等许多方面，发展十分迅速。模糊理论的主要 特点是能定量地处理定性确定的种种模糊因素。 二、模糊子集的概念
经典集合A可有其特征函数不，唯一确定，如映射
Z，(x)表明x对A的隶属程度，不过仅有两种状态:一个元素x要么属于A， 要么不属于A。它确切地、数量化地描述了“非此即彼”现象。但现实世界中 并非完全如此。
l、模糊子集的直观描述与定义
我们先从直观上来描述这种“中介状态”。设论域U(图4一1)。取具有单位 长度的线段，把U上的模糊集合一记为尽。若元素x位于尽(圆圈)的内部，记 为1;若元素x位于尽的外部，记为0;若元素x部分在于尽内又部分在于尽外， 则表示隶属的“中介状态”。元素x位于尽内部的长度则表示了x对于尽的隶属 程度。为了描述这种“中介状态”，需要将经典集合A和特征函数zJ(x)的值域 {0，玛推广到闭区间[0，1〕上，这样，经典集合的特征函数，就扩展为模糊集合 的隶属函数。 第四章，。房地产估价相关的模糊数学理论 图4一1模糊子集的直观描述图
确定了一个U上的模糊
子集尽。映射尽称为尽的隶属函数，用尽(x)表
示，尽(戈)称为戈对尽(x)的隶属程度，使尽(xi)一0.5的点xi称为尽的过渡 点。此时该点最具模糊性。
由定义可以看出，模糊子集尽是由隶属函数尽(x)唯一确定的，以后总是 把模糊子集尽与隶属函数尽(x)看成是等同的。还应指出，隶属程度的思想是 模糊数学的基本思想[l0]。
当尽(x)的值域为{o，1}时，模糊子集尽就是经典子集，而尽(x)就是它
的特征函数。可见，经典子集是模糊子集的特殊情况。U上所有模糊子集所组 成的集合，称为U的模糊幂集，记为r(U)。为了简便计，模糊子集，简称为 模糊集;隶属程度，简称为隶属度。 2、模糊集的表示法
第四章，J房地产估价相关的模糊数学理论 模糊集的表示有“Zadeh表示法”，“序列表示法”，“向量表示法”，其中向 量表示法最为简洁，故本文将采用向量表示法。 论域U是有限集。U·{x】，xZ，?，戈，}，U上的任一模糊集合尽，其隶属度 函数为{尽(戈)}(i=l，2，?，n)。 三、模糊集的运算
现将经典集合的运算推广到模糊集，由于模糊集中没有点和集之间的绝对
属于关系，所以其运算的定义只能以隶属函数间的关系来确定[5l。这里介绍与
房地产估价相关的模糊集的并、交、补运算。设尽和尽是论域U上两个模糊 集，定义JU尽、尽n尽、尽‘分别为下述隶属函数描述的模糊集: 尽(x)U尽(x)=max(沙(x)，尽(x))=尽(x)v尽(x) 尽(x)门尽(x)=min(尽(x)，尽(x))=尽(x)八尽(x) 尽C(x)二1一尽(x)
则上述各式称为尽和尽的并、交、补运算。其中V表示取最大值，八表不
取最小值。可以勘察，任意两个模糊集之间的运算，实际上式论域U中的每一 个元素对这两个模糊集的隶属度间的相应运算。 四、隶属函数的确定方法
应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数，然而这是至今尚
未解决的问题。基于这一理论的模糊统计方法，是确定这类模糊集的隶属度的 有效方法[川。这里主要介绍适合房地产估价中确定隶属度与隶属函数所常用的 方法。
1、模糊统计法
模糊统计与概率统计的区别在于，若将概率统计比喻为“变动的点”是否
落在“不动的圈”内，则将模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”。 2、指派方法
指派隶属函数的方法，普遍被认为是一种主观的方法，它可以把人们的实
践经验考虑进去。若模糊集定义在实数域R内，则模糊集的隶属函数使称为模 糊分布。所谓指派方法，就是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布， 第四章，J房地产估价相关的模糊数学理论 然后根据测量数据确定分布中所含的参数。 3、借用已有的客观尺度
在经济管理、社会科学中，可以直接借用已有的尺度(经济指标)作为模 糊集的隶属度。
例如，在论域u(房屋)上定义模糊集A二“房屋完好”，以“房屋完好
率”作为隶属度来表示“房屋完好”这个模糊集是十分恰当的。在论域U(产 品)上定义模糊集尽=“质量稳定”，可用产品的“正品率”作为产品属于“质 量稳定”的隶属度，在论域u(家庭)上定义模糊集:C=“贫困家庭”，可 用Engel系数作为隶属度来表示家庭贫困程度等。 4、二元对比排序法
对于有些模糊集合，很难直接给出隶属度。但可以通过两两比较，容易确
定两个因素相应隶属度的大小。先排序，再用数学方法加工得到隶属函数。实 际上，这是隶属函数(模糊分布)的一种离散表示法。 第二节最大隶属原则和择近原则 一、相关定义
定义1:称向量尽=(尽(xl)，尽(凡)，?，尽(xn))为模糊向量，其中 0‘尽(xi)‘1，(i=l，2，?，n)
若尽(xi)。{o，l}(‘=l，2，?，n)，则称尽一(尽(x，)，尽(xZ)，?，尽(xn))为 Boole向量。
同理有尽=(尽(xl)，尽(凡)，?，尽(xn))，则 n
尽’尽一昌(尽(x，)八班x，))一荡(抓x)八侧‘))(4一1) 为向量A与B的内积，称
n
尽0尽一念(抓xi)V班x，))一x?v(水x)V侧x))(4一2) 第四章‘j房地产估价相关的模糊数学理论 为向量A与B的外积。
定义2:设县l，尽2，?，尽，:是论域U上的n个模糊子集，称以模糊集 县，，尽:，?，尽，:为分量的模糊向量为模糊向量集合族，一记为尽=尽，，尽2，?，执，。 例如，在房地产比较法估价中，提供的影响因素如:交易情况、交易日期、 区位因素、个别因素等，实际上是一个模糊集。设尽=评估因素，而描述评估 因素的每一个因素也都是模糊子集，因此
尽(评估因素)=妙l(交易情况)，尽:(交易日期)，冼(区位因素)，尽;(个别因素)) 就是一个模糊向量集合族。
定义3:设论域U上有n个模糊子集尽l，羡，?，么，其隶属函数为 县(x)。{0，l}，(i=1，2，?，n)，而尽·(尽，，姚，一么)为模糊向量集合族。 x0·(对，对，?，x:)“普通向量，则称。(x0)一恳{。‘(钊为x0对模糊向量集 合族A的隶属度。 二、最大隶属原则
最大隶属原贝IJI:设论域U={xl，xZ，?，xn}有m个模糊子集 尽l，尽:，?，尽。，(即m个模型)，构成了一个标准模型库，若对任一x0任U， 有i0。{l，2，?，m}，使得 尽、(x。)=V尽*(x。)(4一3) 则认为x0相对隶属于么
最大隶属原则2:设论域U一{xl，:，?，戈，}上有一个标准模型尽，待识别的 对象有n个，xl，xZ，?，戈:任U。如果有某个戈满足 抓‘*)一昌么(x，)(4一4)
第四章，J房地产估价相关的模糊数学理论 则应优先录取戈。
上述最大隶属原则，在房地产估价中选取相似(可比)案例具有极其重要 的作用。 三、择近原则
设在论域U={xl，xZ，?，xn}上有m个模糊子集(m个模型)，构成了标准模 型库。被识别的对象尽也是一个模糊集，尽与感(i=1，2，?，m)中的哪一个最贴 近?这就是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。因此，这里涉及到两个模糊 集的贴近程度问题。 (l)贴近度
先把模糊向量的内积与外积推广到无限论域U上，内积与外积的简单性质 对无限论域U上的模糊集也成立。
由模糊集的内积与外积的性质可知，单独使用内积或外积还不能完全刻划
两个模糊集尽、尽之间的贴近度。模糊集的内积与外积都只能部分地表现两个 模糊集的靠近程度。现在从直观上进一步说明这一点。在图4一2中所表示的两 个模糊集尽、尽交点的纵坐标(隶属度)越大时，则尽与吞越靠近，而内积 尽‘尽一荡(抓x)八戮x))正是表现了模糊集尽与尽交点的纵坐标(隶属度。)o 在图4一3中所表示的两个模糊集尽与尽交点的纵坐标(隶属度p)越小时，则尽 与尽越靠近，而外积尽0尽·裔(尽(x)v尽(x))正好表现了这一点。