综上所述，内积越大，模糊集越靠近;外积越小，模糊集也越靠近。因此， 第四章一，J房地产估价相关的模糊数学理论
可用二者相结合的“贴近度”来刻划两个模糊集的贴近程度较为适合。 设尽、尽是论域U上的模糊子集，则称 a。(，，。)一工r，.。+(l一，o。)12“--(4一5)
为尽与尽的格贴近度l”]。可见，当a0(尽，孕越大(从而少尽越大，尽。尽越 小)时，尽与尽就越贴近。 (2)择近原则
设论域u上有m个模糊集尽，，尽2，?，尽加，构成一个标准模型库
{尽.，姚，?，么}，尽。r(U)为待识别的模型。若存在l’0。{1，2，?，m 6。(尽、，尽)一江，J。(尽*，尽)
则称尽与钱，最贴近，或者说把尽归并到武类【’2]。 (3)多个特征的择近原则
设论域U上有两个模糊向量集合族 尽=(尽l，尽2，?，尽。) 尽二(尽!，尽2，?，氛) 则尽与尽的贴近度定义为 ，使得 (4一6) n
J(尽，尽)一江，J(尽，，尽，)
第五章市场比较法模糊数学估价模型 第五章市场比较法模糊数学估价模型 第一节概述
运用比较法评估房地产价格，是从广泛搜集的交易实例中选取可供比较参
照的交易实例，然后进行交易情况、交易日期、交易状况等的修正，最后综合 评估确定估价额。正确运用比较法，估价师面临两个棘手的问题需要解决:一 是，如何选择与待估房地产条件相似的交易实例，并进行因素差异的修正。由 于房地产位置的固定性和不可移动性，每宗房地产都有其地区性和个别性，形 成鲜明的单件性。比较法要求，尽可能在同一市场供求范围内选择与待估房地 产条件相似的交易实例相似程度的确定问题，而相似程度的确定却具有较大的 模糊性。二是，计算出各交易实例的修正价格后，如何确定待估房地产的价格。
目前在实际工作中，一般采用两种方法:其一是采用均值法(算术平均或加权 平均)、中位数法、众位数法，所得结果作为待估房地产的价格;其二是根据经 验，以待估房地产相似程度最大的交易实例修正后的价格为主，参考其他交易 实例的修正价格，判断出一个结果。显然，实际工作中采用的比较法相对上述 两个问题的处理方法显得过于粗略，以至影响最终评估结果的可信性【’4】。 仔细分析实际评估工作发现，经验丰富的房地产估价师，总是利用他掌握
的许许多多各种类型房地产的市场交易资料，根据待估房地产与某些交易实例 的相似程度，选择最相似与待估房地产的三个或三个以上的交易实例的交易资 料，并引入系数加以调整，从而评估出待估房地产的价格。但房地产估价师的 这种评估过程是模糊的，既无法用精确的数学语言定量描述待估房地产与交易 实例的相似程度，又难以准确确定综合修正结果，所以往往存在较大的误差。 经验少，水平低的估价工作者更是如此。而模糊数学，可以定量描述待估房地 产与交易实例之间的相似程度，将大量的交易实例的典型资料储存起来，经过 检索和综合修正计算，进而确定待估房地产的价格。因此，可以解决上述房地 产估价师的难题。
第二节模糊数学评估模型的建立
将模糊数学理论引入市场比较法，即运用模糊数学来选择可供比较的交易 第五章市场比较法模糊数学估价模型
实例和进行各因素的修正。在对象的相似程度识别方面，采用贴近度判断，对 象越相似，贴近度就越大。这样就可以解决比较法中如何选择与待估房地产最 相似的交易实例的问题。同时，通过一定的方法，再将待估房地产与交易实例 之间的贴近度的大小转化为权数，从而可以较好解决市场比较法的第二个难题。 房地产估价，实质上就是利用某种方法，对待估房地产价格所作的一种估
价或推测。虽然由于房地产本身的单件性、多样性以及位置的固定性等特J点， 不存在完全一样的房地产，它们总会在某些方面有差异，但是总可以在众多的 交易实例中找到差异比较小的一些房地产，也就是比较相似的房地产。换句话 说，众多的房地产交易实例之间存在着某些相似性，不同的房地产交易实例， 它们的相似程度也不同。
对于某宗待估房地产，我们可以从己经归集到的大量房地产交易实例中找
出与待估房地产相似的若干可比实例，然后利用这若干个与待估房地产最相似 的交易实例的成交价格作为基础资料，采用某种可行的估算方法，对待估房地 产的价格进行评估。下面利用指数平滑法建立模糊数学评估模型[5]。 设己有n个房地产交易实例的资料尽，，尽:，?，尽。，用石表示第i个房地产 交易实例的特征向量，乙=(t，l，tiZ，?，毛用)，用弓表示第i个房地产交易实 例的价格向量，由此得到特征矩阵万和对应的价格矩阵百:
式中，
t。为房地产交易实例特征因素的隶属函数值。设待估房地产的特征 向量为乙=(t，，t:，?，汽、)，利用贴近度计算公式可计算待估房地产的 地产交易实例乙的贴近度为al，aZ，?，a，:，然后从小到大排序， 兰与房 记为 。，，。2，?，氏，。一般情况下，a，笋氏，相应当房地产交易实例价格(修正后)为 月，乓，?，双，(注意，一般情况下ei护式)。即与待估房地产最相似的(贴近度最 大)交易实例的价格为瓦，次相似的为乓，依次类推，最不相似的为En。当 第五章市场比较法模糊数学估价模型
贴近度相同时，可利用模糊关系系数的大小来排序:
设第i个交易实例价格的算术平均评估值为可(为便于
推导公式，在此设
该值为虚拟值，无需求取)，相应的交易实例的修正价格为式，其估价误差为 Ei一耳，则第i一1个交易实例价格的算术平均评估值为(按照指数平滑法建立 估价模型)
嵘l=耳+ai(Ei一耳)(5一1)
式(5一l)是指i一1个交易实例价格算术平均评估价等于对第i个交易实例 价格的算术平均评估值进行修正，修正的方法是加上其评估误差和该交易与待 估房地产的贴近度氏的乘积。所以上式可变为 嵘l=氏式+(l一ai)耳(5一2)
按式(5一2)依次类推并展开，则可得到待估房地产的评估价格为 瓦一al瓦+(l一。l)耳
一a，瓦+(l一a，)[二瓦+(l一az)耳〕-??
=巩瓦+几(l一a，)乓+as(1一a，)(l一吼)瓦(5一3) +.··?+an(l一。，)(1一aZ)..·(l一氏_，)瓦 +(l一al)(I一吼)...(1一气)可
式中，耳为评估初始值，可取n个交易实例价格(修正后)的算术平均值， 式=生艺式(5一4)
从式(5一3)可知，待估房地产的评估价格就是个交易实例评估价格(修正 后)的加权平均值，这些权值从大到小地变化逐渐趋于零，而且满足归一化条 件，所有的权值之和等于1，即
第五章市场比较法模糊数学估价模型 a，+几(l一a!)+a3(l一al)(l一aZ)+ (l一an_!)+(l一氏)(l一aZ)?(l一氏)
??+an(1一口l)(1一几)?__、又勺一勺)
综合式(5一3)和式(5一5)，我们可以如下理解，用各个交易实例价格(修 正后)的算术平均值(即式)来对待估房地产进行估价，精度显然不够，所以 用各交易实例价格(修正后)与算术平均值之差乘上相应的由贴近度组成的权 值来进行调整。相似程度高的交易实例，其权值就大，因而所起的调整作用也 大;相似程度低的交易实例，其权值就小，相应所起的调整作用也小。用相似 程度的大小来控制相应交易实例的调整作用，这显然式符合逻辑的。 在实际工作中，考虑到权值是呈指数级递降的，衰减非常大，第四相似的
交易实例的权值已经相当小，一般可以忽略，所以通常只要取最相似的三个交 易实例就完全满足要求了。这就使得评估模型大为简化，式(5一3)可变为: E*=al瓦+几(l一al)乓十几(l一。，)(1一几)凡 1，_、，.、，.、，__一、
+二弋l一a:八l一JZ八l一a3八乌+力2+也3) j
(5一6)
由于选择可比实例只是与待估房地产相似，而且确定特征因素隶属函数时
也存在误差，所以计算结果要进行修正。这种修正主要是根据房地产估价师的 评估经验，有时主要是评估政策上的修正，如政策变化、市场供求状况、顾客 成交的迫切程度、愿承当的风险大小因素等，均应作为决定评估结果需要考虑 的因素。修正系数大小由估价师经验确定，一般取修正系数为0.95一1.05。于 是最后的估价模型为: E*=兄〔。l戴+几(l一，，)乓十巩(1一。l)(1一几)乓 +粤(1一。l)(1一二)(1一a3)(瓦+凡+凡)]j (5一7)
第三节基于模糊数学的比较法的评估流程设计 一、待估房地产的主要特征因素的选取
房地产的价格水平，是众多影响房地产价格因素相互作用的结果，或者说， 是这些因素交互影响会聚而成的。房地产评估的主要难点是，影响房地产价格 的因素极其复杂，而且难以把握。 第五章市场比较法模糊数学估价模型
在比较法中，通常将影响房地产价格的因素分为交易情况、交易日期、房
地产状况等。对于不同的房地产估价对象，根据估价目的不同，特征因素的选 取也不同，而且在众多的影响因素中，要确定具有代表性的主要特征因素。选 取主要特征因素的方法可根据交易案例资料分析或请专家评定。 二、主要特征因素隶属函数值的确定
选定影响房地产价格的主要特征因素后，那么待估房地产与各交易实例分
别具有多少这些特征呢?隶属函数就是表示某些元素隶属于某种特征的函数， 隶属函数用【0，l]区间的一个数来表示，其值越接近1，意味着隶属度越高，反 之越低。确定隶属函数值的过程，实际上就是市场比较法中区域因素修正、个 别因素修正的过程，即将有关修正系数的百分比转化为隶属函数值。 确定隶属函数值的方法，一般有统计法、概率法、相对比较法等，都有一
定的主观性，但这种主观性通常是根据经验、统计或某些专家的评分模糊确定 的。许多情况下，常常是初步确定粗略的隶属函数，然后通过研究和实践检验 逐步修改和完善。事实上，也不可能存在对任何问题、任何人都适用的确定隶 属函数的方法，如果能够找到对不同情况均适用的确定隶属函数的方法，那么 “模糊性”也就不存在了。
影响房地产估价的主要特征因素指标可以分为两类，诸如规划限制、宗地 形状等指标、其概念没有明确的外延或难以量化的，称为软指标;而至商业中 心的距离、至火车站的距离、宗地临街深度、临街宽度等，其概念的外延易于 确切定量，称为硬指标。由于软指标是定性描述，对这类非定量因素，可以用 类比法建立隶属函数。对实地勘察的某一特征因素的五个等级“优”、“较优”、 “一般”、“较劣”、“劣”，再根据实际需要，用+、一细分小等级，根据统计赋 予相关的值。于是，可建立该因素对于上述等级的单因素评价模糊集，从而确 定相应的隶属函数值。
三、交易情况与交易日期的修正
采用比较法评估房地产价格时，除要进行区域因素和个别因素修正外，还
要进行交易情况与交易日期修正。交易情况修正，是排除交易行为中的一些特 殊因素所造成的交易价格偏差。它是对交易实例价格本身是否正常的修正。这 种非正常交易实例的价格修正，一般根据具体情况由估价人员靠经验加以判断。 第五章市场比较法模糊数学估价模型
在估价实践中，只有当正常交易实例不够时，方考虑选用非正常交易实例，所 以，一般情况下不需要进行交易情况修正。交易日期修正可根据当地房地产价 格指数和房地产发展指数来确定隶属函数值。 四、贴近度及待估房地产价格的计算
待估房地产与可比实例房地产的贴近度的计算及待估房地产价格的计算， 均按式5一2中所述的方法进行。
第四节传统市场比较法与修正后比较法的精度比较
在市场比较法中，无论应用什么方法都会存在一定的误差，这是客观事实， 我们能做的就是运用相关知识进行改进，尽量减少误差，本课题主要应用模糊 数学和相关的其他一些数学知识进行算法的修正，使得评估精度有所提高。同 济大学施建刚教授对传统比较法和运用模糊数学修正后的比较法精度有所研 究，他在多年积累的估价案例中，选用97个可比案例对同一房地产(待估房地 产)用传统估价方法进行评估，这些可比实例价格经修正后得到比准价格，对 同一估价案例，这些比准价格从理论上说应该是相等的，即误差应该为零，若 不为零，便是误差。设该估价实例的多个比准价格为乙，其算术平均值为x， 即
(5一8) 一J.....︸ 口才了l州门 一一X