第二章 变分原理
变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。变分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner变分原理。我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题
历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题
1695年，Bernoulli以公开信方式提出了最速降线命题。如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A、B两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB光滑下滑的时间最短。
设A点与坐标原点O重合，B点的坐标为(x1,y1)，滑体质量为m，从O点下滑至P点时的速度为v，根据能量恒原理，有：
mgy?12mv (2-1)
2用s表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图
v?dsdt?2gy (2-2)
曲线弧长为：
ds?dx?dy22??dy?1???dx (2-3)
?dx?2于是，时间为：
dt?dsv?1?y??'22gydx (2-4)
下降时间为：
T??T0dt??x11?y??'202gydx (2-5)
经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：
x?y?C2C2???sin?? (2-6)
?1?cos??2、短程线命题
设??x,y,z??0是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A、B两点，试问如何连接可使此曲面上A、B两点间的距离最短。
设A点的坐标为A?x1,y1,z1?、B点的坐标为B?x2,y2,z2?，在曲面上A、B两点的曲线长度为：
L?22?x2x1?dy??dz?1??????dx (2-7)
dxdx????其中，y?y?x?,z?z?x?是满足曲面??x,y,z??0的约
束条件。 3、等周命题
等周命题为在长度一定的闭合曲线中，什么曲线围成的面积最大。 图2-2 短程线 设所给曲线的参数方程为x?x?s?,y?y?s?，因这条曲线是封闭的，在这条曲线的始端和末端，有x?s0??x?s1?,y?s0??y?s1?。该曲线周长为：
s1L??s0?dx??dy??????ds (2-8) ?ds??ds?22由于该曲线封，根据格林公式：
???dX??dY???dxdy?dxdx?????Xdx?Ydy? (2-9)
该曲线所围成的面积为：
???dxdy?12???1?1?dxdy??12??xdy?ydx??1dx?dyx?y?2?s0?dsdss1??ds (2-10) ?于是等周问题可以归纳为在满足x?s0??x?s1?,y?s0??y?s1?和式(2-8)条件下，从所有可能函数中选择一对函数使面积最大。
§ 2.2 泛函的概念
在函数论中，自变量x对应着另一变量y，则变量y称为自变量x的函数y(x)。假如自变函数y(x)对应着另一个函数??y(x)?，则??y(x)?称为泛函。函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量与函数之间的关系。泛函是函数的函数，是函数的广义函数。
通过微分学和变分学对比，可理解变分特性。 2.2.1 微分和变分
函数y(x)的自变量x的增量?x是?x=x-x1，当x是独立变量时，x的微分等于x的增量，即dx??x；泛函??y(x)?的自变函数c的增量在它很小时称为变分，用?y(x)或简单地用?y表示。变分?y等于y(x)与跟它相接近、并通过边界的另一个函数y1(x)之差，即?y(x)=y(x)-y1(x)。特别指出的是，变分?y(x)不是常值，而是通过边界条件的函数。两个自变函数相接近的意义可有不同的理解，最简单的理解是在任意x值上y(x)和y1(x)之差很小，即：
y(x)-y1(x)?? (2-11)
这种接近称零阶接近度，如图2-3所示。很明显，这时之差y'(x)?y1'(x)不一定是微量。如果满足零阶接近，同时满足自变函数的斜率也很接近，即：
??y(x)?y1(x)?? ? (2-12)
''??y(x)?y1(x)??这种接近称一阶接近度，如图2-4所示。
图 2-3 零阶接近度 图2-4 一阶接近度
依次类推，k阶接近度要求零阶至k阶导数之差都很小。
??y?y(x)?y1(x)???111??y?y(x)?y1(x)???222??y?y(x)?y1(x)?? (2-14) ?...???yk?yk(x)?y1k(x)???接近度越高，两条曲线亦越接近。
2.2.2 函数的微分和泛函的变分
函数的微分有两个定义。一个是通常的定义，即函数的增量定义为：
?y?y(x??x)?y( x) (2-15) 可展开为?x的线性项和非线性项之和，即
?y?A(x)?x? x (2-16) ?(x,?x)?其中线性项A(x)和?x无关，?(x,?x)与?x有关，是高次项，当?x?0时?(x,?x)?0，此时可称y(x)是可微，相应有：
?y?dy?A(x)?x?ydx' dydx?lim?y?x?x?0?A(x) (2-17)
也可以说，对于可微函数，函数的微分是函数增量的主部分，即线性项。
函数的第二定义是设?是为一小参数，将y(x???x)对?求导数，即
???y(x???x)?y(x???x)?x(???x)'?yx(???x?)x (2-18)
?(x???x)??当?趋近于零时
???y(x???x)???0?y(x)? x (2-19)
'这就说明，y(x???x)在?=0处对?的导数等于y(x)在x处的微分。?称为拉格朗日乘子，此法称为拉格朗日乘子法。
泛函的变分也有类似的两个定义。
第一个定义：自变函数y(x)的变分?y(x)所引起的泛函的增量，即： ?????y(x)??y(x?)类似地，其可展开为线性项和非线性项 , ???L?y(x)?y(?x)???y(x?),y?m)ax y (2-21) ?(x???y(?x ) (2-20)
其中L是对?y(x)的线性泛函项，而?是非线性泛函项，是?y(x)的同阶或高阶微量，当?y(x)?0时?ymax?0，同时?也趋近于零，这时泛函的增量等于?y(x)的线性部分L?y(x),?y(x)?，叫做泛函的变分，用??来表示。 ? ??????y?0???y(x)??y(x?)???y(?x)?L?y(?x), ) (2-22) ?y ( x所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分?y(x)来说是线性的。
第二个定义：泛函变分是??y(x)???y(x)?对?在??0处的示导值。 泛函的增量用微小参数?表示为：
?????y(x)???y(x?)????L?y(x)??,y(?x?)?y(?x)y(??x),y(x)m???? (2-23)
axy因为泛函导数是??y(x)???y(x)?对?的导数在?=0时的值，于是有
?
????y(x)???y(x?)???????Ly(x)?,?y?(?x)??yy(x?)?,(x)?y(mx?a)xy(x) (2-24)
??y(x)??,y(x)???max??因为线性项L?y(x),??y(x)?对?y(x)是线性的，故 L?y(x)?,?y(?x)???Ly(x?),并且当??0时??y(x),??y(x)??0，?ymax?0，得
?????y(x)???y(x?)??Ly(x?),y?( x ) (2-26)
y ( x ) (2-25) ?由此得拉格朗日的泛函变分定义为 ???
2.2.2 变分运算规则
自变函数的变分?y(x)是x的函数，于是可以用x求导数
ddxdy(x)dxdy1(x)dx?dy(x)?'' (2-28) ?y(x)?y1(x)????dx???????y(x)???y(x?)???0??Ly(x)?,y) (2-27) ?( x 即
??y(x)???
(2-29) ??y(x)?????dx?dx?ddxd?dy(x)?因此，变分?和导数同理有：
的运算可换，变分的导数等于导数的变分。
??y(x) (2-30) nn??y(x)???y(x)??y(x)?\\其它运算规则如下：
?1? ?(?1??2)???1???2?2? ?(?1?2)??2??1??1??22?3? ?(?1/?2)?(?2??1??1??2)/?2
?4? ??n?6? ?x2x1?n?n?1?? (2-31)
?5? ?(yn)?(?y)n??dx????dxx1x22.2.3 极大极小——极值问题
与函数的极大、极小问题相类似，泛函也有极大、极小问题。如果任何一条接近