y?y0(x)的曲线y(x)的泛函值??y(x)?不大（或不小）于y0(x)的泛函??y0(x)?，即
?????y(x)????y0(x)??0(或?0)，则泛函??y0(x)?在曲线y0(x)上达到极大（或极小）值，而且在y?y0(x)上泛函的一阶变分等于零
??=0 (2-32)
因为函数接近度有零阶和高阶之分，所以变分分为强变分和弱变分。对于y(x)?y0(x)?? 的零阶接近度的变分称为强变分，这样得到的极值叫强极值。如果是一阶接近度，即
y(x)?y0(x)??y(x)?y(x)??''0 (2-33)
则把这类变分称弱变分，所得到极值称为弱极值。和微分的极值条件一样，一阶变分等于零的条件??=0只是存在极值（或驻值）的必要条件，而不是充分条件，只有两阶变分才能确定极大或极小。
§2.3 泛函极值问题的欧拉方程
变分的早期工作是把泛函极值问题化为微分方程问题，即欧拉---拉格朗日方程。 求泛函
???x2x1' (2-34) F(x,y,y)d x在边界条件y(x1)?y1, y(x2)?y2下的极值。
设正确解为y(x)，y1(x)为接近y(x)的任意函数，则
y1(x)?y(x)??y(x) (2-35) 其中?y(x)为满足边界条件式的接近于y(x)的变分，显然?y(x)在边界上等于零，即
?y(x1)??y(x2)?0 (2-36)
泛函增量??为 ????x2x1F(x,y1,y1)dx?'?x2x1F(x,y,y)dx (2-38)
'根据泰勒级数展开，有
?
x2x1F(x,y1,y1)dx???x2x1''?x2x1F(x,y??y,y??y)dx''F(x,y,y)dx?12?x2x1?x2x1(?F?y?y??F?y?y)dx'' (2-38)
??22??2F?F?F2''2?(?y)?2?y?y?(?y)?dx?...?2''2?y?y?y??y?令 ????x2x1(?F?y?y??F?y''?y)dx (2-39)
???2?x2x122??2F?FF2'?'(?y)?2?y?y?(?y?2''2?y?y?y??y?2)d x?? ： ： ： 这时式（1.3.6）可以写成
??????12?2???... (2-40)
其中??，?2?，?称为一阶变分，二阶变分等。
根据式(2-34)的泛函极值条件，??=0，即
????x2x1(?F?y?y??F?y'?y)dx=0 (2-41) '关于泛函的一阶变分式(2-39)或式(2-41)可由导数的概念获得。令F(x,y,z)是自变量x,y,,z
的函数,则其全导数为
dF(x,y,z?)?F?x?Fd?x?y?Fd?y?z (2-42) d z令泛函 F(x,y,'y是函数)y(x)的函数。假如F不仅与y有关，同时与其导数有关，这时
泛函一阶变分自变函数可视为y(x)和其导数y'(x)的函数。因此可以把微分符号d用变分符号?来代替，而?x?0，因泛函的变分只与y(x)和y'(x)的变分有关，故泛函变分为
?F??F?y?y??F?y' (2-43) ?y'假如泛函含有y,y',y\，则
?F(x,y,y',y\)??F?y?F?y'?y??y?'?F?y\ (2-44) ?y\对式（2-42）的第二项进行分部积分，得 ?x2x1?F?y'?y?'?F?y'?y???x2x1x2x1?d?F?()?y??dx (2-45) 'dx?y??把上式代入式(2-42)中，得 ????x2x1(?F?y?ddx?y(?F))?ydx?'?F?yx?y??0 (2-46) x'21上式第二项是边界条件式，当给定边界条件情况下在x?x1和x?x2处?y?0，（式（1.3.5）），即第二项等于零，这个边界条件称为基本边界条件。当没有给定基本边界条件时
?y在x?x1和x?x2处?y?0处可能不等于零，则??=0的条件必须要求在边界处
?F/?y?0，这一边界条件称为自然边界条件。今后将看到弹性力学问题的基本边界条件
'为位移（包括转角），自然边界条件为力（包括弯矩）。
式(2-46)的第一项中?y是x的函数，它不能等于零，故??=0的条件是
?F?y?d?F(')?0 (2-47) dx?y这个方程称为欧拉方程，就是说，泛函极值的积分方程转换成欧拉方程——微分方程。这是1744年欧拉提出的著名方程，后来拉格朗日用拉格朗日法简捷地得到相同结果（1755年），所以这个方程又称为欧拉-拉格朗日方程。
应当指出，假如原来的泛函的积分方程含有一阶导数，则欧拉方程将含有更高一阶导数。欧拉方程式(2-47)是泛函极值的条件式。为判定所得解为极大还是极小，需要考虑二阶变分
2??的符号。因所得的解已满足??=0，由式（1.3.9）
????2?12 (2-48) ???因此，若对于任意?y(x)有?2?>0，则解使?为极小，反之极大。
假如泛函还含有两阶导数，则其泛函数为
??y(x)??端点上的边界条件为
根据式(2-46)，一阶变分
???y(x)??y(x1)?y1,y(x1)?y1,'?x2x1'\ (2-49) F?x,y(x),y(x),y(x)???dxy(x2)?y2y(x2)?y2' (2-50)
?x2x1(?F?y?y??F?y?y?''?F?y\?y)dx (2-51) \和前面推导一样，上式的第二项进行一次分部积分，第三项进行两次分部积分，并考虑边界
条件，得欧拉方程
?F?y?(')?dx?yd?F2d2?F\dx? (2-52) ?0y这一欧拉方程与式(2-47)比校，上式多一个全微分项，它是(2-51)的第三项进行两次分部积分时得到的。
同理含n阶导数的泛函极值的欧拉方程为
?F?y?(')??.?..?(2\dx?ydx?yd?Fd2?Fnd?F1)n(?ndx?yn 0 (2-53) )这是函数y(x)的2n阶微分方程，称为欧拉-柏桑方程，未知常数是2n个，由2n个边界条件确定。
例1 连接两点的最短曲线长度
根据数学理论，两点间曲线长度用积分表示为：
L?泛函只含有y，其欧拉方程为
d?'y/?dx'21?y??0
??x2x11?ydx
'2'其通解为 y?c1x?c2
其中c1,c2是由边界条件的两点?x1,y1?、?x2,y2?确定，最后得
y?y1y2?y1?x?x1x2?x1
显然，其解是连接两点的直线。由式（1.3.8b）知
???2?x2x1??2F'2??y?'2?dx???y?x2x1?x2x1'?d?y'2)?y?dx?'('2dy?1?y???
?????1?y'2?y'2/1?y'2?'21?y??1(1?y)'23/2?'2??ydx??
x2x1?ydx?0'2因此，泛函是最小值。
例2 Winkler基础上初等梁的微分方程
Winkler基础上初等梁的总势能为：
??12?l0EI(dwdx22)dx?212?l0kwdx?2?l0qwdx
根据欧拉方程，知Winkler基础上初等梁的控制方程为：
EI例3 双参数地基上初等梁的微分方程
双参数地基上初等梁的总势能为：
??1dwdx44?kw?q?0 （1.3.19）
?2l0EI(dwdx22)dx?21?2l0kwdx?2?l0qwdx
例4 双参数地基上Timoshenko梁的微分方程
§2.3 多维问题泛函及其极值问题
2.3.1含有一阶导数的二维、三维泛函
)? ??w(x,y????w?wFxy,w,x(y,),xy(,)x,y(, ) (2-54) ?dxdy?s??x?y??自变函数w(x,y)是x，y的函数，它在边界c上w(x,y)已知。为简便，引进符号
w,x??w(x,y)?x?w?x22,w,y?2?w(x,y)?y2,?w?x?y2
w,xx?,w,yy??w?y (2-55)
,w,xy?显然，式（1.4.1）的一阶变分可写为
??F??F?F ??????w??w,x??w,y?dxdy (2-56)
s?w?w?w??,x,y??上式右第二式用附录A公式（A.4）——格林公式进行分部积分，得
??ws?F,x?w,xdxdy???Fs??w,x?x?wdxdy???Fc?w,xnx?wdc????Fs (2-57)
?x?w,x?wdxdy同理，第三式也用格林公式，代入式（1.4.3）中，并考虑到在边界上?w=0，得
??F??F??F ???????s???w?x?w,x?y?w,y???wdxdy (2-58) ??由此得欧拉方程为
上式称为奥斯特罗格拉斯基公式
同理，三维问题泛函式 ??的欧拉方程为
?F?w???F???F??F??0 (2-61)
?F?w???F?x?w,x???F?0 (2-59)
?y?w,y?v?F?w d v (2-60) z?x,y,z,w,xw,yw,??x?w,x?y?,wy?z?w,z和一维问题欧拉方程式（1.3.15）相比校，二维和三维问题欧拉方程式（1.4.4）和（1.4.5）各自增加了第三项和第四项，它们的公式结构与一维问题完全相同。应当特别注意的是，多
维积分的分部积分过程中采用附录A的格林公式，它对计算力学发展起了重要作用，它的贡献在于使高维变低维，高阶变分变为一阶变分?w，在以后的有关章节详述。
2.3.2含有两阶导数的二维、三维泛函 )? ??w(x,y??F?x,y,w,w,,yw,,xxw,,xyw,?,ywds,xy (2-62) ??s的一阶变分为
???w(x,y)????F?F?F?F?w??w??w??wxx,x,y,?s??w?w?w?w?,x,yxx,???F?w,xy (2-63)
?w,xy??F?w,yy??w,yy?ds??其欧拉方程为
?F?w???F?x?w,x???F??22?F?y?w,y?x?w,xx??2?F?x?y?w,xy??22?F?y?w,yy?0 (2-64)
上式中函数w(x,y)和它的导数是x，y的函数。
同理，三维情况的泛函
??其欧拉方程为
?vF?,,ywy,,ww,wx?s y z d(2-65) xzz,xy,?x,y,z,w,,xw,,yw,,zw,,xw?,z,w