???x1x0F(x,1y,y,..n.y,2'1y,'2y,'n\\\ . . .d , x ) (2-84) ,y...1y,2y,n,y的极值问题的欧拉方程为
?F?yjn??i?1d??F?i(x)??'??yjdx???yj??in?i?12??i?d?F (2-85) ?i(x)'??()?0 j?1,2,n.. .2\?yj??dx?yj例1 如图（1.5.1）所示梁在x?l处w?w，w为给定端点挠度，建立欧拉方程及边界条件
式。这例题相当于求泛函
2?1?dw2????EI(2)?qw?dx (a)
0dx?2?l在x?l处约束条件为??w?w?0时的
图 1.5.1极值条件。用拉格朗日乘子?，建立新的泛函
2?1?dw2(?w?) ?1???EI(2)?qw?dx??w (b) l0dx?2?l其变分式为
22?1?dwd?w??1???EI?q?w?dx???w?l???(w?w)?l (c) 2202dxdx??l对上式右第一项进行两次分部积分，得
?l0EIdwd?wdx222dx2dx?EIdwd?wdx22dx??l0ddxdx(dw22)?w???l0l0d22dx(EIdwdx22)?wdx (d)
把上式代入式(c)，并整理后，其极值条件为
22?d2?dwdwd?wl??1???2(EI)?q??wdx?EI?0220dxdxdxdx?? (e)
22ddwddw?(??EI)?w??EI?w?0?(w?w)???l?0l22dxdxdxdxl上式成立的条件为 （1）
d22dx(EIdwdx22)?q?0 在x=0～l域内
（2） ??ddx(EIdwdx22)?0或?w?0 在x=l处
（3） w?w?0 在x=l处 (f) （4）
ddx(EIdwdx22)?0或?w?0 在x=0处
(5) EIdwdx22?0或d?wdx?0 在x=0处和在x=l处
上式中第一式是梁弯曲微分方程式，即欧拉方程；第二式是确定拉格朗日乘子的方程，很明显，拉格朗日乘子的物理意义是在x=l处的剪力；第三式就是给定约束条件；第4和第5
d?w式是剩余的边界条件，其中包括基本边界条件?w?0和?0以及自然边界条件，即弯
dxd?wdx矩、剪力的边界条件，如图1.5.1的情况，在x=0处?w?由式(f)的第二式，把?代入式(b)得新的泛函式
在x=l处EI?0，
dwdx22?0。
22?1?dw2ddw(EI)(w?w)?l (g) ?1???EI(2)?qw?dx?202dxdxdx??l由此可知，泛函极值方程(e)给出欧拉方程式
和所有边界条件式，所以变分问题式(c)等价于式(f)的微分方程的解。
例2证明如图1.5.2的无条件泛函式为
23?1?dw2dw?1???EI()?qw?dx?w(kw?EI)?l230dxdx?2?l 图 1.5.2
2.6 加 权 残 值 法
大量的应用科学和工程学问题往往可以归结为根据一定的边界条件，初始条件等，来求解问题的控制微分方程式或微分方程组或关键的积分方程。微分方程式（组）可以是常微分方程，偏微分方程，线性的或非线性的。加权残值法是一种数学方法，可以直接从微分方程式（组）中得出近似解。该方法用于解算力学问题具有原理的统一性和方法的一致收敛性，应用的广泛性，且简便，准确，工作量少，程序简短，亦可用于解复杂问题等优点。
2.6.1 加权残值法的基本方法
按权函数进行分类，加权残值法共有五类，可称为加权残值法的基本方法。 1、最小二乘法
解某一问题时，在物体域v内的残值R平方积分式为：
I(Cj)??vRdv (2-86)
2为使I(Cj)为最小，应用求函数的极值条件：
可得消除残值方程式为：
?I?Cj?0 (2-87)
?vR?R?Cjdv?0 （j=1,2,…,n） (2-88)
由此可知，最小二乘法中的权函数为?R/?Cj，进行运算后(2-88)式即可化为n个代数方程式，足以求出n个待定系数?Cj（j=1,2,…,n）。
如果求解的问题系属二维的，则有最小二乘法消除残值方程组为：
??A?R(x,y)R(x,y)dA??Cjk0 （j,k=1,2,…,n） (2-89)
同样，三维问题的最小二乘法消除残值方程组为：
???v?R(x,y,z)R(x,y,z)d?v 0 (j,k,l=1,2,…,n) (2-90)
?Cjkl2、配置法
最初发展的配置法仅是配点法，今年来在我国发展了配线法，配面法及配域法等，这里将详述配点法。这是一种使用极为广泛又很方便的加权残值法。
如果以笛拉克?函数作为权函数：
Wj??(x?xj) (2-91)
就得到了配点法。笛拉克?函数又称为单位脉冲函数。
一维的单位脉冲函数其主要的性质如下：
???,a. ?(x?xj)????0,(x?xj)(x?xj) (2-92)
b.
??a????(x?xj)dx?1 (2-93)
(a?xj?b)(x?a,或x?b)c.
b?1,??(x?xj)dx????0, (2-94)
d.
?ba??f(xj),f(x)?(x?xj)dx????0,(a?xj?b)(xj?a,或xj?b) (2-95)
二维的单位脉冲函数的主要性质如下：
???,a. ?(x?xj)?(y?yj)????0,(x?xj及y?yj)(x?xj及y?yj) (2-96)
b.
??cdba??1,?(x?xj)?(y?yj)dxdy????0,(a?x?b及c?y?d)(xj?b或xj?a及yj?d或yj?c)(2-97)
c.
??cdba?f(xj,yj)f(x,y)?(x?xj)?(y?yj)dxdy???0(1)(2) (2-98)
（（1）配点在积分域内，（2）配点不在积分域内） 于是，按(2-95)即有一维问题的配点法，即：
?vRWjdv??vR(x)?x(?xjdx)?Rx(j?) 0 （j=1,2,…,n） (2-99)
按(2-98)即有二维的配点法，为：
??RWvjdv???R(x,y?)vx(?xj?)y(?y0,j(?jdxdy)?R(xj,yj)? (2-100)
1,2n,...,)上面两个方程的意义就是残值应在n个配点xj（一维），(xj,yj)（二维）处为零。亦即在残值方程中代入配点坐标，置方程为零即可。于是解代数方程组（1-3-13）或（1-3-14）即能解出待定系数Cj(j?1,2,...,n)。
3、子域法
将物体的域v分为n个子域vj（j=1,2,…,n），权函数如下确定：
在(vj内）??1, Wj?? (2-101)
0，（不在v内）?j?列出消除残值方程组为：
?Rdv?0 （j=1,2,…,n） (2-102)
jvj运算后解n个代数方程式即可求得Cj(j?1,2,...,n)。
4、伽辽金法
若按加权残值法的观点去理解伽辽金法，伽辽金法实际上就是将试函数项当作为权函数的加权残值法。以薄板弯曲问题为例，薄板弯曲的控制微分方程为：
D??w(x,y)?q(x,y)?0 (2-103)
式中，D?Eh/12(1??)为抗弯刚度，E为弹性模量，h为板的厚度，?为材料泊松比，算子为???/?x??/?y，w为板的挠度，q(x,y)为作用于板上分布荷载的集度。若假设薄板挠度的试函数已满足了所有的边界条件为：
n222223222 w?则这块薄板弯曲问题的伽辽金法方程为：
或即为
式中
?Cj?1jfj(x,y) (2-104)
??(D?sm2?w?q)fj(x,y)dxdy?0 （j=1,2,…,n） (2-105)
2??RWIsmjdxdy?0 （j=1,2,…,n） (2-106)
22 RI?D??w?q，Wj?fj(x,y) (2-107)
所以，在伽辽金法中权函数就是试函数。对(2-106)式进行运算可得到一组代数方程组，从其
中可解出待定系数Cj。
5、矩量法
在一维问题中，矩量法的权函数为xj(j?0,1,...,n?1)。消除残值方程式为：
?Rxvjdv?0,(?j0,1,..n?., (2-108)
这里有n个代数方程式，可求出试函数中n个Cj(j?1,2,...,n)二维问题矩量法的消除残值方程式为：
??R(x,yvx)ydv?jj0,j(k?,0,1,n2?,.. . (2-109)
运算后得代数方程组可以解出试函数中的Cjk(j,k?0,1,2,...)。
2.6.2 加权残值法的试函数
在加权残值法计算力学中，如何选用或确定待求函数的试函数十分重要。我国国内加权残值法计算力学研究工作者在实践中曾采用有下列试函数并取得良好的效果。按其使用频繁的程度次序列出如下：
1、单B样条函数 形式如：
??Cijij?i(x)Yj(y) (2-110)
其中?i(x)为从3次到9次的B样条函数，Yj(y)为正交函数，或为正弦或余弦的三角函数如sin(j?yb)等，或为傅里叶级数等。
2、多三角级数 形式如：
??mnm?xn?Amnsinsinaby?,?Bmnmn?mxcosa?nycos (2-111) ...b及单三角级数如：aisini?,bicosix?cjsinjy... 3、多项式双幂级数
形式如：
??Amnmnx2m?1y2n,?m?Bnmn(x?1)(y?1)... (2-112)
2m2n4、单多项式级数 形式如：
A1?A2x?A3x?...(1?5、双B样条函数 形式如：
2ra2)?(1?2ra2)?... (2-113) 24