?F?w???2??F?x?w,x?F???F?y?w,y?22???F?z?w,z?22??22?F?x?w,xx?0??2?F?x?y?w,xy??2?F?x?z?w,xz (2-66)
?y?z?w,yz??F?y?w,yy??F?z?w,zz上式中自变函数w和它的导数是x，y，z的函数。
2.3.3与时间和空间有关的泛函
??w(x,y，t)???t12t?s?F??x,y,t,w,w,x,w,y,w,xx,w,xy,w,yy,w,t?ds (2-67)
其欧拉方程为 ?F?w???F?x?w,x?w?t???F?y?w,y???F?t?w,t??22?F?x?w,xx??2?F?x?y?w,xy??22?F?y?w,yy?0 (2-68)
上式中w,t?，自变函数w和它的导数是x，y，t的函数。
以上都是含有一个自变函数的情况。 2.3.4 含有n个自变函数的泛函
现有n个自变函数y1(x),y2(x),...,yn(x)，其泛函式为 ??其一阶变分为
???欧拉方程为
?F?yi?d(?F'i?baF(x,y1,y2,y.n..y1,y''2,y,.dx.. , ) (2-69) n'?ba?n?F??y???i?y?xi?i?1n??yi?1?F'i?yi?dx (2-70)
??dx?y)?0,i? . (2-71) 1,2n, . .上式与式（1.3.5）的欧拉方程完全一致，只是 yi代替y，并且式(1.4.9)是n个联立方程。含有高阶导数的多维问题n个自变函数的表达式与式（1.4.4）～（1.4.7）完全一致，但是它是联立方程。
例1求下列泛函的欧拉方程 ???s1??w2?w2?()?()?dxdy ?2??x?y?上式含有w,x和w,y，故由(2-61),得
?w?x22 ??w?y22?0 或 ?w?0
2显然，这是在流体、电磁场及热场中常用到的拉普拉斯方程。 例2 求下列泛函的欧拉方程
??D2?S22??2w2??w2?w2()?2()?()?q(x,y)w??dxdy 22?x?x?y?y??上式含有w和w,xx...的泛函，由式（2-61）得欧拉方程
?w?x44 D??w?D(这是薄板弯曲微分方程式。 例3 多质点系的拉格朗日方程
22?2?w?x?y224??w?y44)?q(x,y)
理论力学中的拉格朗日方程，可以由式（2-71）得到。自变量x用时间t代替，自变函?数yi用广义坐标qi代替，yi'用时间的导数qi代替，则 ????ba??2?L(t,q1q,2,q.n..q1q,,qn,dt.. .)根据式（2-71）泛函极值的欧拉方程为
?L?qid?Ldt??0, i?1,2n,. . .?qi这就是著名的拉格朗日方程，这里L称为拉格朗日函数，它由动能T和位能U组成 L=T-U (1.4.11)
泛函式的极值条件又可以写成
?????(T?U)d? （1.4.12） t0ab这就是哈密顿原理。
具有n个质点的质量为mi的力系，各质点上作用的力为Fi（又称力函数），是位能U的函数，它们之间的关系为
Fx??i?U?xi,Fyi???U?yi,Fzi???U?zi （1.4.13）
这个力系的动能T为 T?于是泛函式为 ??1ni2imv?2i?1?1nim(x?y?z) ?2iiii?1?2?2?2?t1t0Ldt??(T?t0t1?1U)?dt?t0??2t1n?i?1i?(mi?x?yi?)z?i??2?2?2U dt根据式（1.4.10），并利用式（1.4.13），得
?L?xi?d?L .?0dt?xi?(T?U)?xi???U?xi?Fxi
?L?xi?
...d?Ld?Tdmixi?mixi .? .?dtdtdt?xi?xi拉式方程为
.. mixi?Fxi?0
..同理
miyi?Fyi?0.. i=1,2,…n
mizi?Fzi?0例4 薄板弯曲振动微分方程
薄板弯曲的弯矩及扭矩为 Mx??D(?w?x22?v?w?y22),My?w??D(2?y2?w?v2),?x2Mxy?w??D(1?v)
?x?y2薄板变曲应变能为
?U???M2s?1?D?wx2
?x22?M?wy2?y22?2Mxy2?w??dxdy?x?y?22??w2?w2?w?w?w2?()?()?2v?2(1?v)()?dxdy?2222?s2??x?y?x?y?x?y?1?w?t2
动能为
T?能量泛函式为 ???t1?2s?(x,y)(2)dxd y??t0st1s(T?U)dtds??t0222??2w2?2w21??w2?w?w?w?2???)?D?(2)?()?2v?2(1?v)()??(x,y)(??dxdydt 2222??t?y?x?y?x?y?????x?这一泛函是只含有时间t的一阶导数和x，y的两阶导数的函数，其欧拉方程直接由式（1.4.8）
得
?(x,y)?w?t22?D(?w?x44?2?w?x?y224??w?y44)?0
这就是薄板弯曲的振动微分方程式。
§2.5 条件极值问题
上几节讨论的泛函极值问题，习惯上称为无条件极值问题。所谓无条件，并不是说在自
变函数选取中不考虑任何条件。自变函数必须使给定泛函在某一范围内有意义，并满足边界条件，因为这些条件容易被满足，所以称为无条件极值问题。在工程实际中，有些约束条件不易得到满足，这种在给定约束条件下来求泛函极值，称为条件极值问题。 2.5.1函数条件极值问题
求函数
F(x,y)?x2?2y2?2xy?3x?5 (2-72) 在约束条件?(x,y)?x?y?0下的极值问题。
上述极限问题有两种方法，第一种方法是由约束条件式消去y，代入（2-72）式，得
y??x
dFdxF(x,y)?x?x3?2
5函数取得极值的条件是?2x?3?0，得x=-3/2, y=-3/2, F(-3/2, 3/2)=11/4 .
第二种方法是利用拉格朗日乘子法进行求解。选择拉格朗日乘子?，把?乘以条件式，
与式（2-72）相加，形成新的泛函
22 F1(x,y,?)?x?2y?2xy?3x?5??(x?y) (2-73)
这时新的泛函F1不仅是x，y的函数，同时也是?的函数，F1的极值条件为
?F1?x?F1?y?F1???2x?2y?3????4y?2x???0?x?y?00
上面第三式正是约束条件式。由此可解出x=-3/2, y=3/2, ?=-3.把它代入式（2-73），得F1（-3/2, 3/2, -3）=11/4，其结果与第一方法完全相同。
拉格朗日乘子法是通过拉格朗日乘子，将有条件极值问题的旧函数改造成为无条件极值问题的新函数。有时把拉格朗日乘子又称为权数或权函数，这是行之有效的一种方法，加权残值法、广义变分原理也是基于拉格朗日乘子法得来的。 2.5.2泛函条件极值问题
约束条件式?i为x,y1,y2,...yn的函数 ?i(x,y1,y2,...yn)?0满足式（2-74）的约束条件下，求泛函 ??(i?1,2,...k)k?n (2-74)
?x1x0F(x,y1,y2,.y.n.,y1y,''2,yn,dx.. . ) (2-75)
'的条件极值问题。
与前述一致，此问题也有两种方法，第一方法是通过式(2-74)的k个自变函数yi来表示泛函式(2-75)中的n-k个未知自变函数。把n个未知自变函数泛函式(2-75)的有条件极值问题转化为n-k个未知自变函数的泛函极值问题。第二种方法是拉格朗日乘子法，选择拉格朗日乘子函数?i(x),i?1,2,...k，乘以式（2-74），相加式（2-75）的函数F中，得到新的泛函?1
?1??x1x0??F??n?i?1??i(x)?i(x,y1,y2,...yn)?dx???x1x0F1dx (2-76)
显然，泛函?1是自变函数yj(j?1,2,...,n)的函数，同时又是?i(i?1,2,...,k)的函数，因此泛函是n+k个未知自变函数的极值问题。首先对式(2-76)用?i求极值，即?i有变分时极值条件为
??1??x1x0?i(x,y1,y2,...y,??)dx?ni0?i . . . 1, 2 ,k, (2-77)
因为??i是任意值，不等于零，上式可导出
?i(x,y1,y2,...yn)?0(i?1,2,...,k) (2-78)
这就是约束条件式(2-74)下求泛函式(2-75)的极值问题。
不难证明，式(2-76)的欧拉方程为
?F?yjn???(x)?yii?1??ij?d?Fdx?'yj?0 (2-79)
为了能求出待定拉氏乘子?i?x?，需要诸乘子的系数满足下列行列式不为零的要求，即：
??1??i?yi?y1??2??y1???1?y1??1?y2??2?y2???2?y2??????1?yn??2?yn?0 (2-80) ???n?yn同理，约束条件含一阶导数的情况，即
,y2,..y. ?i(x,y1n'1y,'y,2,n.y?..,')0?i1,k2?,n, ; (2-81) . . . k求泛函
??的极值问题欧拉方程为
?F?yjn?x1x0F(x,y1,y2,.y.n.,y1y,''2,yn,dx.. . ) (2-82)
'??i?1d??F?i(x)??'??yjdx???yj??in?i?1?i(x)??i? . (2-83) ?0 j?1,2,n..'??yj??在式(2-81)的约束条件下求泛函