?
?uxk???x??yx??zx????Fd??0?x??x?y?z?????xy??y??zy?u???Fd??0,y???yk??x?y?z?? . k?1,2n,.. (2-131)
??uzk???xz??yz??z????Fd??0?z??x?y?z??通过求解这些线性方程组，确定待定常数ak、从而得到问题的近似解。利用式(2-131)bk、ck，进行近似求解的方法称之为Galerkin方法。它属于加权残值法的一种特殊形式。
对于薄板弯曲问题，若所设的挠度实验函数除满足所有位移边界条件外，还满足所有力
边界条件，由位移变分原理可导出相应的变分方程为：
??(D?22?w?q)?wdxdy?0 (2-132)
上式就是Galerkin方法计算薄板弯曲问题的控制方程。
§2.8 能量原理
势能驻值原理是虚位移原理的能量形式。这两个原理是位移法和位移型有限元的理论基础。如果把问题限定为弹性力学线性问题，则势能的驻值实际上又是极小值，此时又称为最小势能原理。
2.8.1弹性系统的势能
弹性系统的势能IIP用基本未知函数——位移{u}表示的能量，由弹性体的应变能U和荷载的势能UP两部分组成：
IIP?U+UP (2-133) 应变能U为：
U=???1V2????A????dV (2-134)
TT其中应变???是由位移{u}导出的，即??????D? UP??????u?。荷载势能为：
V??FT?u?dV??????u?dS (2-135)
S?TT上式右边第一项是体积力的势能，第二项是边界S?上边界荷载的势能。
由于势能IIP是位移函数的函数，因此IIP是一个泛函。
2.8.2 势能驻值原理的表述
势能驻值原理可表述为在位移满足几何条件的前提下，如果位移相应的应力还满足静力条件，则该位移必使势能IIP为驻值；反之，在位移满足几何条件的前提下，如果位移还使
势能IIP为驻值，则该位移相应的应力必满足静力条件。
或者说，在位移为可能的前提下，势能驻值条件
?IIP?0 （2-136） 与静力条件彼此等价。
如果弹性体的位移既满足几何条件，而其相应的应力又满足静力条件，则该位移就是弹性体的真实位移。因此，势能驻值原理又可表述如下：
在所有的可能位移中，真实位移势能为驻值；反之，使势能为驻值的可能位移就是真实位移。
与结构力学相比，弹性力学是势能原理在文字表述上完全相同，只是要注意数学上的差异。
2.8.3 势能的变分?IIP
由式（4-23a,b,c）可得出势能变分如下： ?IIP????V???T????dV????V??FT??u?dV???S???TT ??u?dS （2-137）
其中???和???是由位移{u}导出的应变和应力：
??????D?又
???????D?TT?u?,?????A? (2-138) ??? ??u? （2-139）
如果位移{u}是可能位移，满足位移边界条件
?u??u （在Su上） (2-140) 则位移变分??u?在Su上满足齐次边界条件：
??u??0 （在Su上） （2-141）
在恒等式 ???????VT???D??u?TdV??????u??D??V?Td?V?????s????LTu d S(2-142)
中，将?u?换成??u?，并引入式（4-26）和（4-27），得：
u?dV????V?D??????????V??????TTTd?V???s??L?????TTu d S(2-143)
将式（4-28）代入式（4-25），得：
?IIP??????D??????F????u?dV?????L??????T????u?dS (2-144)
VS?这就是在位移为可能位移的前提下势能变分?IIP的表达式。 2.8.4、势能驻值原理的证明
在位移为可能位移的前提下，势能驻值条件（4-24）是静力方程
??D?????F??0?(在V内）? ? (2-145)
（在S?上）??L?????T?????的必要条件和充分条件。
下面从两个方面对上述原理加以证明。 1、必要性
设位移相应的应力满足静力方程。将静力方程代入式（4-29），得?IIP?0。因此，在位移为可能位移的前提下，势能驻值条件成立。证毕。 2、充分性
设在位移为可能位移的前提下势能驻值条件（4-24）成立。根据式（4-29），式（4-24）可写成：
?????D??????F????u?dV?????L??????T????u?dSVS?TT?0 (2-146)
由于位移变分??u?在V内以及在S?上具有任意性，故由上式即可导出静力方程。证毕
顺便指出，势能驻值原理也可由虚位移原理导出。由式（4-27）得知，在位移{u}是可能位移的前提下，位移变分??u?是任意齐次可能位移。在虚位移方程
?????????dV?????F??u?dV????T??u?dS (2-147)
T***VVS?TT中将?u*?换成??u?，即得：
??????????dV?????F???u?dV????T???u?dSTVVS?TT?0 (2-148)
上式就是虚位移方程的变分形式。应用式（4-25），由虚位移方程（4-31）即可导出势能驻值条件（4-24）。因此，由虚位移原理可以导出势能驻值原理。
虚位移原理与势能驻值原理是密切相关的两个原理。在虚位移?u*?和位移变分??u?是齐次可能位移的前提下，虚位移方程和势能驻值条件分别是用虚功形式和能量形式表述的静力方程。两个原理的区别在于：
第一，虚位移原理中的应力和位移是彼此无关的，没有引入应力应变关系。势能驻值原理中的应力是由位移导出来的，引入了应力应变间的线性弹性关系。因此，势能驻值原理只适用于弹性问题，而虚位移原理的应用范围则更广。
第二，势能驻值条件的表述形式更简洁，更便于应用。
2.8.5、最小势能原理
在弹性力学线性问题中，可以证明，真实位移不仅使势能为驻值，而且使势能为极小值。也就是说，不仅势能驻值原理成立，而且最小势能原理也成立。
最小势能原理可表述如下：
设{u}是真实位移，?u????u?是与真实位移邻近的任意可能位移（显然，位移差??u?是齐次可能位移），则：
IIP(?u????u?)?IIP?u? (2-149)
证：根据势能的定义（4-23），有：
IIP?u??12???V???T?A????dV????12VTTV??FT?u?dV?T?????u?dSS?TT (2-150)
IIP(?u????u?)?
???V(????????)?A?(????????)dVTT?????F?12T(?u????u?)dV????T?(?u????u?)dSS?T (2-151)
以上二式相减，得： IIP(?u????u?)?IIP?u??
???????V?????A?????dV????VT???????dVV?F?T??u?dV????T???u?dSS?T (2-152)
由于???是真实应力，满足静力方程，而??u?是齐次可能位移，因此虚位移方程成立。仿照虚位移方程，有：
???V???T????dV??????VFT??u?dV?T??????u?dSS?TT ?0 （2-153）
将式(b)代入式(a)，得：
IIP(?u????u?)?IIP?u??12 ???V?????A?????dV （2-154）
上式右边是应变????相应的应变能，不可能是负值。因此，式（4-32）成立。证毕。
2.8.6 最小余能原理和余能驻值原理
最小余能原理和余能驻值原理是最小势能原理和势能驻值原理的对偶形式。
余能驻值原理是虚应力原理的能量形式。这两个原理是应力法和应力杂交型有限元法的理论基础。如果把问题限定为弹性力学线性问题，则余能的驻值实际上又是极小值，此时称为最小余能原理。
下面先定义弹性系统的余能，然后介绍有关余能原理的几种表述形式。
1、弹性系统的余能
弹性系统的余能IIc是用基本未知函数——应力???表示的能量，由弹性体的应变余能
V和支座位移的余能Vd两部分组成：
IIc?V?Vd (2-155) 应变余能V为：
V?支座位移的余能为：
Vd???? 2、余能驻值原理的表述
余能驻值原理可表述如下：
在应力满足静力条件的前提下，如果与应力相应的应变又是几何可能应变，则该应力必
Su???12TV????a????TdV （2-156）
?u??L????ds????Su?u?T?T?ds (2-157)
使余能IIc为驻值；反之，在应力满足静力条件的前提下，如果应力还使余能IIc为驻值，则该应力相应的应变必是几何可能应变。
或者说，在应力为静力可能应力的前提下，余能驻值条件：
?IIc?0 （2-158） 是相应的应变为几何可能应变的充分必要条件。
如果弹性体的应力既满足静力条件，而其相应的应变又是几何可能应变，则该应力就是弹性体的真实应力。因此，余能驻值原理又可表述如下：
在所有的静力可能应力中，真实应力使余能为驻值；反之，使余能为驻值的可能应力就是真实应力。
顺便指出，余能驻值原理只涉及应力（通过应力应变关系还可以涉及应变），但不直接涉及位移。应用余能驻值原理可以求出真实应力及真实应变，如要求真实位移，则还需补充刚体位移的约束条件。
3、由虚应力原理导出余能驻值原理 由式（4-50），余能的变法?IIc为： ?IIc? ??????????dV????u???T?ds （2-159）
TVSuT因此，余能驻值条件（4-51）可写为：
???V???????dVT? ??????T?ds?0 （2-160）
SuuT其中???是由???导出的应变，即：
?????a???? （2-161）
在应力???为静力可能应力，满足静力方程的条件下，应力变分????满足下列方程：
?D???????0?
?L???????0?又 ??T???T?????(在V内）（在Su上） （2-162）
(在S上） u可以看出，在应力???为静力可能应力的前提下，应力变分????就是任意的齐次可能应力。如果取????作为虚应力，则可写出虚应力方程如下：
??????????dVVT? ???u???T?ds （2-163）
SuT上式就是（4-53）。由此看出，由虚应力方程可以导出余能驻值条件（4-53），或者说，余能驻值条件(4-53)是虚应力方程的变分形式。因此，由虚应力原理可以导出余能驻值原理。 4、最小余能原理
在弹性力学线性问题中，可以证明，真实应力不仅使余能为驻值，而且使余能为极小值。也就是说，不仅余能驻值原理成立，而且最小余能原理也成立。 最小余能原理可表述如下：
设???是真实应力，????????是与真实应力邻近的任意肯能应力（显然，应力差