??r?(x)?ijiijj(y) (2-114)
?i(x)及?j(y)都是B样条函数，从3次到9次。
6、多项式与三角函数积并与多项式之和
形式如：
C1?C2r2?C3rcos??C4rsin??...r2sin?cos??... (2-115) 7、双调和函数 如由e?xsin?y,e??xcos?y,xe?xsin?y,xs?h2?yye?ycos?x?...组成，或为：
C1cos?1xch?1?y8、梁振动函数
Cco?s223Csi?n3 y . . . (2-116) x?c?h3?mx?C2 C1msinmco?smx?C3ms?hm?x4Cm?c hm x (2-117)
9、对数函数 如： C1?C2r2?ln用于分析开孔物体中。
10、指数函数
ir如：Aie,ra?rln2ra,?ri2ilnri(i?1,2,3,...),2... (2-118)
e?(a?by),...
11、贝塞耳函数 如：AJo()?BJ()?... 12、“完备系”试函数
2n如：C1?C2r?...?r(cosn??sinn?)
13、柱稳定函数
如：C1?C2x?sink?x?cosk?x
试函数是选择在低级近似计算中十分重要。因为，这会影响计算结果。在高级近似计算 中则不太重要，因为，计算中依靠了解的收敛性。试函数选择得当与否只会影响解的收敛速度。
试函数必须是完备的并且各试函数项之间是线性无关。属于连续的函数大多可以用多项式展开。试函数的完备性能够保证在取足够多的试函数项时可以逼近精确解，所以比较重要。
拟解决问题的对称性和边界条件可以帮助确定试函数的形式。对称问题，试函数也应该是对称的。如果已知一个问题中的边界条件为g(x,y)，则这问题中的试函数可假设为：
n u(x,y)?gx(y,?)?CiNix( (2-119) y , )i?1当然，式中试函数项Ni在边界条件上应为零。
多种正交多项式都是有用的试函数。它们可以满足若干边界条件，再附加一定的多项式以满足其他的边界条件。这种设立试函数的方法可以满足一些难以全部满足边界条件的边值问题，如大挠度板壳及厚板厚壳问题。正交多项式的正交性可以使得计算正确方便。
超越函数可以作为试函数，但大多用作初次近似的试函数，在高次近似计算中，则有计算累赘不堪的缺点。这类函数可以作为特征值问题的试函数。
有限元法单元中，位移模式所用的试函数也可以作为加权残值法的试函数。各类样条函数都可以作为加权残值法的试函数。
§2.7 Ritz法和Galerkin法
2.7.1基于位移变分原理的Ritz法 使用位移变分原理求解，首先需要列出所有变形可能的位移，然后从中找出使总势能取驻值的那组位移，这就是真实位移。对于稳定平衡状态，相应于位移变分原理的最小势能原理成立，因此使总势能取最小值的那组位移，就是真实位移。但问题在于要列出所有变形可能的位移非常困难，也不现实。因此，在求解实际工程问题时，只能根据受力特点和边界条件，凭经验假设一组位移的实验函数，其中包括有限个待定常数，这种处理缩小了寻找位移解的范围。若从中找出一组使总势能取最小值的位移，一般来说，这组位移不是真正的位移，但它在缩小的范围内是与真实位移最接近，从而可以作为问题的近似解。
设位移实验函数为：
nux?ux0??k?1nakux(k,x,y)zbkuy(k,x,y )z (2-120) cku(,x,y)zzk uy?uy0?uz?uz0??k?1n?k?1式中ux0、uy0、uz0和uxk、uyk、uzk是预先设定的空间坐标的函数，uxk、uyk、uzk称为基函数或形状函数（它表示变形形状），应当满足函数连续性、可微性、线性独立性及基本
边界条件（又称固定边界条件，但自然边界条件不一定必须满足），基函数是选择函数，一般采用指数函数或三角函数，此时函数的连续性、可微性及独立性易被满足，所以选择基函数时特别注意满足边界条件。而ak、bk、ck是待定系数又称广义参数，由泛函极值条件确定。位移的变分是通过待定系数ak、bk、ck取变分来实现的，而与函数uxk、uyk、uzk无关，于是：
n?ux? ?uy???k?1nakux(kx,y,z)bkuy(kx,y, z) (2-121) ckuz(kx,y,)z??k?1n?uz???k?1位移实验函数必须满足位移边界条件，且在位移边界条件上的变分为零，为满足这两个
条件就要求：在位移边界上，ux0、uy0、uz0等于已知位移，而uxk、uykuzk（k=1,2,…,n）均等于零。
将式（1-4-1）代入下列总势能表达式
II?U?V??Wd???(Tux?S?x?Tyuy?Tzuz)dS??(Fux?x?Fyuy?Fzuz)d? (2-122)
将总势能表示成待定系数的ak、bk、ck的函数：
II?U?V?II(ak,bkc,k ) (2-123) 变分原理要求： ?II???II?II?II??a??b???0 (2-124) ???ak?bk?c?kck?1?kkk?n由于?ak、?bk、?ck是相互独立的，也是任意的，它们的系数应分别为零，于是：
?II?ak?0,?II?0,?bk??cII?k0,k?(1,n2, . . . , ) (2-125)
对于线弹性力学问题，将导致下面3n个线性方程组：
?V?ak?V?bk?V?ck???????uxkFd??xuykFyd??uzkFzd?????S?uTdSx?xkuykTydS?uzkTzdS??U?ak?U?bk?U?ck,k?1,2,.n. . , (2-126)
?S??S?解上述3n个线性方程组，可得出待定系数ak、bk、ck。这就是所谓的Ritz方法。 在获得位移的近似解后，代入几何方程，求得应变的近似解，再代入本构方程，得到应
力的近似解。应当指出：由于位移变分原理等价于平衡微分方程和力边界条件，因此现在所得的近似解对于平衡微分方程和力边界条件来说是近似满足的，而其他方程和条件均严格满足。
2.7.2 基于应力变分原理的Ritz方法
如果我们主要关心物体内的应力分布，使用应力变分原理求解会更合适一些。对于稳定平衡状态，该方法的实质就是从所有静力可能的应力场中，找到使总余势能取最小值的那组应力，这就是真实应力。求解时，首先要选取应力的实验函数，它必须是静力可能的应力场，即满足平衡方程和力边界条件：
n?x??x0??????a?kk?1nxk(x,yz,)(x,yz,) (2-127)
yy0?b?kk?1nyk...?zx??zx0??式中?x0、
?、…、?zx0和?xk、
?k?1fk?zxk(x,y,z)y0yk?、…、?zxk是预先设定的空间坐标的函数，?x0、
yky0、…、
?zx0满足给定体积力的平衡方程和给定面力的力边界条件，而?xk、?、…、?zxk满足体
积力为零的平衡方程和表面力为零的力边界条件；ak、bk、…、fk是相互独立的待定常数，应力的变分将通过这些待定常数来实现。代入总余能表达式并求极值，则有：
?IIc?ak?0,?II?bkc?0,...,??fII?kc0k,?1n, 2 , . . . (2-128)
它们为待定系数的线性方程组，解出这些待定系数则得问题的解。
选择的应力场要求满足平衡方程和力边界条件，往往是不易做到的，但是，对于某些问题，应力分量可用应力函数表示，而应力函数表示的应力分量总是能满足平衡微分方程的。
这样，我们在选取应力函数的表达式时，只需要使其给出的应力分量满足力边界条件即可，从而减小了难度。
应当指出：由于应力变分原理等价于几何方程和位移边界条件，因此现在所得的近似解对于几何方程和位移边界条件来说是近似满足的，而其他方程和条件均严格满足。 例1 简支梁的弯曲问题
如图1.6.1所示梁的梁端简支，w(?l)?0,w(?l)?0，梁的泛函式为
l?l\ ?(w)??12EI(dwdx22)dx?2?l?lqwdx (a)
选如下的基函数
w(x)?a1(l?x)?a2(l?x)x (b)
22222这一函数满足w(?l)?0的基本边界条件， 但不一定要求满足自然边界条件w(?l)?0， 图 1.6.1 而自然边界条件由变分本身得到满足。
把式（1.6.5）代入式（1.6.4），得
??4EI(a1l?6a1al2?17al2)?2325\23aql1?3215aql2 (c)
5由上式对a1和a2求导数，使它等于零，得两个联立方程
得如下表达式
???a1?0,???a2?0 (d)
2?1ql2?a1?3a2l??12EI ? (e) 2??6a?34al2?1ql12?30EI?联立求解得a1?11ql2/60EI,a2?q/30EI，把它代入式（1.6.5），得
11ql222 w(x)?60EI(l?x)?q30EI(l?x)x (f)
222由上述的Ritz法求得梁中点挠度为w(0)?0.0114583qL4/EI，其理论精确解为
w(0)?0.0130208qL/EI，其误差为12%，其中L=2l。
4假如坐标原点取在左端，并作为近似函数选为正弦函数
n w(x)??i?1n?x (g) aisinL用同样方法，得跨中挠度为（仅取第一项）w?0.01307qL4/EI，与精确值相比，误差仅有0.3%。
基函数?i的选择直接影响精度。另一方面，对不同问题、不同边界条件及载荷条件，相应的基函数也在变化，同时基函数是适应整个计算域内，对高阶导数泛函问题，适应性更小，所以实用上受到限制。但这一方法对弹性力学的近似计算方法的发展，发挥了重要作用。随着电子计算机的发展而活跃起来的有限元方法，接受了李兹法的思想，但克服了其缺点，基函数选择在微小块单位内，使基函数的选择成为规格化，扩大了应用范围。
2.7.3 Galerkin法
从虚位移原理导出下式：
???uj(?i,j?F)jd???iS??u(jT??jn)dS? 0 (2-129) iji改式与虚位移原理完全等价。
若选取的位移实验函数（1-4-1）除满足位移边界条件外，还满足力边界条件，直接使用式(2-129)而不是变分方程式进行近似求解会比较方便。这时，式(2-129)退化为：
????x??yx??zx????xy??y??zy????F?u????F?uy?x?xy??????x?y?z?y?z???x???????xz??yz??z??????Fz??uz?d??0?y?z??x?? (2-130)
将式（1-4-1）代入式(2-130)并展开，得到三组线性方程，即：