，则： ????是齐次可能应力）
IIc(????????)?IIc?(?? ) （2-164） 证：
根据余能定义（4-50），有：
IIc(???)?12T???V????a????dV?12?????T?dsSuuTIIc(????????)????V(????????)TT?a?(????????)dV (2-165)
????u?(?T????T?)dsSu以上二式相减得：
IIc(????????)?IIc?(???)12
???V?????a?????dV???????dVVTT????????u???T?dsSuT （2-166）
由于???是真实应变，因而也是可能应变，而????是齐次可能应力，因此虚应力方程成立，仿照式（4-41），有：
???V???????dVT? ??????T?ds?0 （2-167）
SuuT将式（b）代入式（a），得：
(???) IIc(????????)?IIc?12 ???V?????a?????dV （2-168）
T上式右边是应力????相应的应变余能，不可能是负值，因此式（4-63）成立。证毕。
2.8.7 赫林格——瑞斯纳变分原理
最小势能原理和最小余能原理可称为弹性力学的基本变分原理。由基本变分原理出发，还可以导出一些广义变分原理。在下面两节介绍两个重要的广义变分原理。
赫林格（E.Hellinger）和瑞斯纳（E.Reissner）分别于1914年和1950年提出的变分原理称为赫林格——瑞斯纳变分原理，简称H——R变分原理。
赫林格——瑞斯纳变分原理可表述如下：
在弹性力学小位移平衡问题中，与任意的应力和位移相比，真实的应力和位移使赫林格——瑞斯纳泛函IIHR或IIHR为驻值；反之，如果应力和位移使IIHR或IIHR为驻值，则该应力和位移必为真实的应力和位移。
泛函IIHR或IIHR定义如下： IIHR?
'''???V1TTTT???(Du)??a??????????F?????2???u????dV
????(?u??u)Su??T?L????ds???S??T?T ?u?ds （2-169）
IIHR?'???VTT?1???a??u(D??F)?????????????2?dV ????
???Su?u?T?L????ds???S?u?(?L??????T?)ds （2-170）
T? 利用数学恒等式（4-14），可知下列关系成立：
' IIHR=IIH （2-171） R'因此，两个泛函IIHR和IIH是互等的。 R应力???和位移?u?为真实解的充分必要条件是它们满足以应力???和位移?u?为基本变量时的弹性力学基本方程，即：
?D??????F???0?
(在V内）(在V内） （2-172）
(在S?内）(在Su内）?D??u???a??????0??L??????T???0??u???u???0?T可以证明，泛函驻值条件 ?IIHR?0或?IIHR?0 （2-173）
'与方程（4-103）彼此等价，从而赫林格——瑞斯纳变分原理成立。
证：
由式（4-100）求变分，得： ?IIHR??????T(?D?T??u?)?(?D?T?u?)T?????(?a????)T?????F?dV????u??????SuV
???(?u??u)??T?L?????ds???S(?L????)??u?ds???STu??T?TT??u?ds (2-174)
根据数学恒等式（4-14），有： ???????(?D???u?)dVV?IIHR?TT????V(?D????)T??u?dV???S(?L????) ??u?ds （2-175）
将式（4-104）代入式（b），得：
???V?(?D?????F)T??u??(?D?T?u???a????)T?????dV
???????(?u??u)Su??T ?L?????ds???S(?L??????T?)T??u?ds （2-176）
?由于??u?在V内和在S?上，????在V内和在Su上都是任意的，因此根据式（4-105）可知，由式（a）可导出式（4-103），而由式（4-103）也可导出式（a）。证毕。
赫林格——瑞斯纳变分原理属于含两类泛函变量?u?和???的广义变分原理，其中?u?和???不需事先满足任意强制条件。
2.8.7 胡海昌——鹫津久变分原理
胡海昌和鹫津久一郎分别于1954年和1955年提出的变分原理称为胡海昌——鹫津久变分原理，简称H——W变分原理。
胡海昌——鹫津久变分原理可表述如下：
在弹性力学小位移平衡问题中，与任意的位移、应变、应力相比，真实的位移、应变、
'应力使胡海昌——鹫津久泛函IIHW或IIH为驻值；反之，如果位移、应变、应力使IIHW或W'IIHW为驻值，则该位移、应变、应力必为真实的位移、应变、应力。
'泛函IIHW或IIH定义如下： WIIHW?
???VTTT?1?A???(??D?????????u?)?F?????2???T?u??dV?? （2-177）
???(?u??u)Su??T?L????ds???S???TT?u?dsIIHW?'
????VTT?1?A?????????????(?D?????F???2???T?u??dV?? （2-178）
????SuuT?L????ds???S(?L??????T?)T?u?ds?利用数学恒等式（4-14），可知下列关系式成立：
' IIH=IIHW （2-179） W 位移?u?、应变???、应力???为真实解的充分必要条件是它们满足以位移?u?、应变
???、应力???为基本变量时的弹性力学基本方程，即：
?D??????F???0??????D?T(在V内）(在V内）(在V内） （2-180） (在S?内）(在Su内）?u???0? ?????A??????0??L??????T???0??u???u???0?可以证明，泛函驻值条件： ?IIHW?0或?IIHW?0 (2-181)
'与方程（4-109）彼此等价，从而胡海昌——鹫津久变分原理成立。
证：
由式（4-106）求变分，得：
?IIHW????V?(?A????)T????????T????????T(?D?T??u?)?T?(?????D?dV?u?)??????F???u???TT?（2-182）
???(?u??u)Su??T?L?????ds???S(?L????)T??u?ds???Su???TT??u?ds将式（4-104）代入式（d），得：
?IIHW????VTT?(?D?????F)?u???(A????????)?????????dV ??(???D??u?T?)?????T???(?u??u)Su??T?L?????ds???S(?L??????T?)T??u?ds (2-183)
?由于??u?在V内和在S?上，????在V内，????在V内和在Su上都是任意的，因此
根据式（4-110）可知，由式（4-109）可导出式（c），而由式（c）也可导出式（2-183）。证毕。
胡海昌——鹫津久变分原理属于含三类泛函变量?u?，???和???的广义变分原理，其中?u?，???和???不需事先满足任何强制条件。
参考文献：
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[3]胡海昌.弹性力学的变分原理及其应用[M].北京:科学出版社,1981. [4]金在津,谢祚水,古长江.船舶计算结构力学[M].大连:大连理工大学,1990. [5]陈明祥.弹塑性力学[M].北京:科学出版社,2007.
[6]徐次达,陈学潮,郑瑞芬.新计算力学加权残值法---原理、方法及应用[M].上海:同济大学出版社,1996