若函数f?x??2x?2ax?a2?1的定义域为R，则实数a的取值范围 。 ??1,0?（07宁
夏）设函数f?x???x?1??x?a?x为奇函数，则实数a? 。
－1
（07全国Ⅰ）
函数y?f(x)的图象与函数y?logx3f(x)?__________。
3(x?R)
x(x?0的)图象关于直线y?x对称，则
（07北京）
已知函数f?x?,g?x?分别由下表给出：
x 1 2 3 3 1
则f?g?1??的值 ；满足f?g?x???g?f?x??的x的值 .
1，2
(07广东)
已知a是实数，函数f?x??2ax?2x?3?a，如果函数y?f?x?在区间??1,1?上有零点，
2x 1 2 2 3 1 f(x) 1 g(x) 3 求a的取值范围.
解：若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在??1,1?上没有零点, 所以 a?0.
?3?27 令 ??4?8a?3?a??8a?24a?4?0, 解得 a?2
①当 a??3?27时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上;
②当f??1??f?1???a?1??a?5??0，即1?a?5时，y?f?x?在
??1,1?上也恰有一个零点.
③当y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则
a?0a?0????22??8a?24a?4?0??8a?24a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a??3?25
综上所求实数a的取值范围是 a?1 或 a??3?25 .
（07北京）
已知集合A??a1,a2,a3,?,ak?(k?2)其中ai?Z(i?1,2,?,k)，由A中的元素构成两个相应的集合S???a,b?a?A,b?A,a?b?A?，T???a,b?a?A,b?A,a?b?A?，其中
?a,b?是有序实数对，集合S和T的元素个数分别为m,n.
若对于任意的a?A，总有?a?A，则称集合A具有性质P.
（Ⅰ）检验集合?0,1,2,3?与??1,2,3?是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合写出相应的集合S和T；
（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：n?k?k?1?2；
（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论.
（Ⅰ）解：集合?0,1,2,3?不具有性质P，??1,2,3?具有性质P，其相应的集合S和T是 S????1,3?,?3.?1??,T???2,?1?,?2,3??；
2（Ⅱ）证明：首先由A中的元素构成的有序实数对共有k个，因为
0?A,?ai,ai??T(i?1,2,?,k),
?a?A， 又因为当a?A时，?aj,ai??T(i?1,2,?,k)，于是集合T中的元素的个数最多为 所以当?ai,aj??T时，
n?12?k2?k??12k?k?1?，即n?k?k?1?2.
（Ⅲ）解：m?n，证明如下：
①对于?a,b??S，根据定义a?A,b?A，则a?b?A，从而?a?b,b??T 如果?a,b?与?c,d?是S中的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，于是
a?b?c?d与b?d中至少有一个不成立，故?a?b,b?与?c?d,d?也是T中的不同元素.
可见
S中的元素个数不多于T中的元素个数，即m?n；
②对于?a,b??T，根据定义a?A,b?A，则a?b?A，从而?a?b,b??S 如果?a,b?与?c,d?是T中的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，于是
a?b?c?d与b?d中至少有一个不成立，故?a?b,b?与?c?d,d?也是S中的不同元素.
可见
T中的元素个数不多于S中的元素个数，即n?m.
由①②可知m?n.
(07上海)
已知函数f?x??x?2ax(x?0,a?R)
（1）判断函数f?x?的奇偶性；
（2）若f?x?在区间?2,???是增函数，求实数a的取值范围。
2解：（1）当a?0时，f?x??x为偶函数；当a?0时，f?x?既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设x2?x1?2，f?x1??f?x2??x1?2ax1?x2?2ax2
?x1?x2x1x2?x1x2?x1?x2??a?，
由x2?x1?2得x1x2?x1?x2??16，x1?x2?0,x1x2?0 要使f?x?在区间?2,???是增函数只需f?x1??f?x2??0，
即x1x2?x1?x2??a?0恒成立，则a?16。 另解（导数法）：f'?x??2x?f'?x??0恒成立，即2x?ax2ax2，要使f?x?在区间?2,???是增函数，只需当x?2时，
3?0，则a?2x??16,???恒成立，
故当a?16时，f?x?在区间?2,???是增函数。
（重庆理）
已知函数f(x)?ax4lnx?bx4?c(x>0)在x = 1处取得极值?3?c，其中a,b,c为常数。 （1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式f(x)??2c2恒成立，求c的取值范围。 解：（I）由题意知f(1)??3?c，因此b?c??3?c，从而b??3． 又对f(x)求导得f'?x??4axlnx?ax?341x?4bx3?x(4alnx?a?4b)．
3由题意f?(1)?0，因此a?4b?0，解得a?12．
（II）由（I）知f?(x)?48x3lnx（x?0），令f?(x)?0，解得x?1． 当0?x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为减函数； 当x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为增函数．
因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，?∞)．
（III）由（II）知，f(x)在x?1处取得极小值f(1)??3?c，此极小值也是最小值，要使
22f(x)≥?2c（x?0）恒成立，只需?3?c≥?2c．
即2c?c?3≥0，从而(2c?3)(c?1)≥0， 解得c≥322或c≤?1．
?3?所以c的取值范围为(??，?1]??，???．
2??
（浙江理） 设f(x)?x323，对任意实数t，记gt(x)?t3x?23t．
（I）求函数y?f(x)?gt(x)的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当x?0时，f(x)gf(x)≥gt(x)对任意正实数t成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得gx(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． （I）解：y?x33?4x?163．由y??x2?4?0，得x??2．
因为当x?(??，?2)时，y??0，当x?(?2，2)时，y??0，当x?(2，??)时，y??0， 故所求函数的单调递增区间是(??，?2)，(2，??)；单调递减区间是(?2，2)．
x32（II）证明：（i）方法一：令h(x)?f(x)?gt(x)?223?t3x?1323t(x?0)，
1则h?(x)?x?t3，当t?0时，由h?(x)?0，得x?t，当x?(x3，??)时，h?(x)?0，
1所以h(x)在(0，??)内的最小值是h(t3)?0． 故当x?0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立． 方法二：
2对任意固定的x?0，令h(t)?gt(x)?t3x?3323t(t?0)，则h?(t)?23t?131(x?t3)，
由h?(t)?0，得t?x．当0?t?x时，h?(t)?0．当t?x时，h?(t)?0，
3所以当t?x时，h(t)取得最大值h(x)?3313x．
3因此当x?0时，f(x)≥g(x)对任意正实数t成立． （ii）方法一：f(2)?83?gt(2)．由（i）得，gt(2)≥gt(2)对任意正实数t成立．
即存在正实数x0?2，使得gx(2)≥gt(2)对任意正实数t成立．