?则f2??y?????1???a，由f2?(y)?0，得y?1． 2y?32??y当y?(0，1)时，f2?(y)?0，f2(y)在(0，1)内是减函数； 当y??1，?时，f2?(y)?0，f2(y)在?1，?内是增函数．
?4??4??5??5?故当y?1，即AE?1（km）时总造价f2(y)最小，且最小总造价为（III）解法一：不存在这样的点D?，E?．
6716a万元．
事实上，在AB上任取不同的两点D?，E?．为使总造价最小，E显然不能位于D? 与B之间．故可设E?位于D?与A之间，且BD?=x1(km)，AE??y1(km)，0≤x1?y2≤总造价为S万元，则S??x12??x1?232，
?x12?32y1?3?2y12?11?、（II）讨论知，?a．类似于（I）
4?14x12≥?116，y1?3?2y12≥14，当且仅当x1?，y1?1同时成立时，上述两个不
6716a，点D?，E?分
等式等号同时成立，此时BD??(km)，AE?1(km)，S取得最小值
别与点D，E重合，所以不存在这样的点 D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得S??x12??2?x12?y1?3?2y12?11??a 4?1?1???x1??a?4?4?≥14?23(2?3???y1?3?y1?22??2432y1?3?y1?a?a
??16?y1?3?y1)(142y1?3?y1)?a?4316a?6716a． 14，y1?1同时成立时，S取得
当且仅当x1?最小值
6716且3(y1?3?y1)(y1?3?y1)，即x1?a，以上同解法一．
（湖北理）
已知定义在正实数集上的函数f(x)?122x?2ax，g(x)?3alnx?b，其中a?0．设两2曲线y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求证：f(x)≥g(x)（x?0）．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．
3ax2∵f?(x)?x?2a，g?(x)?，由题意f(x0)?g(x0)，f?(x0)?g?(x0)．
?122x?2ax?3alnx0?b，02?203a?即?由x0?2a?得：x0?a，或x0??3a（舍去）． 23ax0?x?2a?，0?x0?即有b?令h(t)?1252a?2a?3alna?2222252a?3alna．
22t?3tlnt(t?0)，则h?(t)?2t(1?3lnt)．于是
1当t(1?3lnt)?0，即0?t?e3时，h?(t)?0；
1当t(1?3lnt)?0，即t?e3时，h?(t)?0．
1?故h(t)在?0，e3???1?3e，?∞为增函数，在???为减函数，
???2?1?3于是h(t)在(0，?∞)的最大值为h?e3??e3．
??2（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?3ax212x?2ax?3alnx?b(x?0)，
22则F?(x)?x?2a??(x?a)(x?3a)x(x?0)．
故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，?∞)为增函数，
于是函数F(x)在(0，?∞)上的最小值是F(a)?F(x0)?f(x0)?g(x0)?0． 故当x?0时，有f(x)?g(x)≥0，即当x?0时，f(x)≥g(x)． （广东理）
如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=66，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。
（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，S?ABC?96，S?BEFV(x)=63x(9?112x)（0?x?362PACDEBF图6x2?54?S?BDC?612x2
）
（2）V'(x)?63(9?14x)2，所以x?(0,6)时，v'(x)?0 ，V(x)单调递增；6?x?36时
v'(x)?0 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值126；
BMAB?BFBC?BEBD?BE12AB,MB?2BE?12（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=62，
MF?BF?PF?636BC?6354?9?42，
2在△PFM中， （广东理）
cos?PFM?84?7242?27，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；
7?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；已知函数f(x)?x2?x?1，设a1?1，
an?1?an?f(an)f'(an)（n=1,2,??）
（1）求?,?的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an>a； （3）记bn?lnan??an?a（n=1,2,??），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)， ∴???1?25,???1?25；
1a?an?12an?12n （2）f'(x)?2x?1，an?1?an??an?2an(2an?1)?142an?1(2an?1)?54
5=
14(2an?1)?42an?1?12，∵a1?1，∴有基本不等式可知a2?0同，样a3???5?125?12?0（当且仅当a1?5?12时取等号），∴a2 （3）an?1???5?125?12an??，??，an(an?1??)???（n=1,2,??）， ，即?3?53?5?an???(an??)(an??)2an?12an?12，而?????1?1???，
?52an?1???(an??)2an?12，同理an?1??5?(an??)2an?1，bn?1?2bn，又b1?ln1??1???ln2l?n3
Sn?2(2?1)lnn3?2 （福建理）
已知函数f(x)?ex?kx，x?R
（Ⅰ）若k?e，试确定函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若k?0，且对于任意x?R，f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围；
n（Ⅲ）设函数F(x)?f(x)?f(?x)，求证：F(1)F(2)?F(n)?(en?1?2)2(n?N)．
?本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
x解：（Ⅰ）由k?e得f(x)?e?ex，所以f?(x)?ex?e．
由f?(x)?0得x?1，故f(x)的单调递增区间是(1，??)， 由f?(x)?0得x?1，故f(x)的单调递减区间是(??，1)． （Ⅱ）由f(?x)?f(x)可知f(x)是偶函数．
于是f(x)?0对任意x?R成立等价于f(x)?0对任意x≥0成立．
x由f?(x)?e?k?0得x?lnk．
x①当k?(0，1]时，f?(x)?e?k?1?k≥0(x?0)．
此时f(x)在[0，??)上单调递增． 故f(x)≥f(0)?1?0，符合题意．
②当k?(1，??)时，lnk?0．
当x变化时f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) (0，lnk) ? lnk (lnk，??) 0 ? 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在[0，??)上，f(x)≥f(lnk)?k?klnk．
?1?k?e． 依题意，k?klnk?0，又k?1，综合①，②得，实数k的取值范围是0?k?e． （Ⅲ）?F(x)?f(x)?f(?x)?ex?e?x，
?F(x1)F(x2)?e?F(1)F(n)?en?1x1?x2?e?(x1?x2)?ex1?x2?e?x1?x2?ex1?x2?e?(x1?x2)?2?ex1?x2?2，
?2，
n?1F(2)F(n?1)?e?2 ??F(n)F(1)?en?1
?2.由此得，[F(1)F(2)?F(n)]2?[F(1)F(n)][F(2)F(n?1)]?[F(n)F(1)]?(en?1?2)n
n故F(1)F(2)?F(n)?(e（北京理）
n?1??2)2，n?N．
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD?2x，梯形面积为S．
（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积S的最大值．
D C 4r A 2r B 解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O?xy（如图），则点C的横坐标为x．