f?(x) ? 0 ? ? 当b?1?1，即b?2时，f?(x)的变化情况如下表：
x f?(x) (??，1) (1，b?1) b?1 (b?1，??) ? ? 0 ? 所以，当b?2时，函数f(x)在(??，b?1)上单调递减，在(b?1，1)上单调递增， 在(1，??)上单调递减．
当b?2时，函数f(x)在(??，??)上1)上单调递减，在(1，b?1)上单调递增，在(b?1，单调递减．
当b?1?1，即b?2时，f(x)?2x?1，所以函数f(x)在(??，1)上单调递减，在(1，??)上单调递减．
4.（四川卷22）．（本小题满分14分）
已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x?10x的一个极值点。
2（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f?x?的单调区间；
（Ⅲ）若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点，求b的取值范围。 【解】：（Ⅰ）因为f 所以f''?x??a4a1?x?2x?10
?3???6?10?0
因此a?16 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f?x??16ln?1?x??x?10x,x???1,???
2 f'?x??2?x?4x?3?21?x
'当x???1,1???3,???时，f当x??1,3?时，f'?x??0
?x??0
所以f?x?的单调增区间是??1,1?,?3,???
f?x?的单调减区间是?1,3?
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f?x?在??1,1?内单调增加，在?1,3?内单调减少，在?3,???上单调增加，且当x?1或x?3时，f'?x??0
所以f?x?的极大值为f?1??16ln2?9，极小值为f?3??32ln2?21 因此f?16??16?10?16?16ln2?9?f?1?
2 f?e?2?1???32?11??21?f?3?
所以在f?x?的三个单调区间??1,1?,?1,3?,?3,???直线y?b有y?f?x?的图象各有一个交点，当且仅当f?3??b?f?1?
因此，b的取值范围为?32ln2?21,16ln2?9?。 5.（天津卷21）（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x4?ax3?2x2?b（x?R），其中a,b?R． （Ⅰ）当a??103时，讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a?[?2,2]，不等式f?x??1在[?1,1]上恒成立，求b的取值范围． 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
322（Ⅰ）解：f?(x)?4x?3ax?4x?x(4x?3ax?4)．
当a??103时，f?(x)?x(4x?10x?4)?2x(2x?1)(x?2)．
122令f?(x)?0，解得x1?0，x2?，x3?2．
当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表： x f?(x) f(x) (??,0) 0 0 极小值 (0,12) 12 (12,2) 2 0 极小值 (2,??) － ↘ ＋ ↗ 0 极大值 － ↘ ＋ ↗
所以f(x)在(0,)，(2,??)内是增函数，在(??,0)，(,2)内是减函数．
2211（Ⅱ）解：f?(x)?x(4x2?3ax?4)，显然x?0不是方程4x2?3ax?4?0的根． 为使f(x)仅在x?0处有极值，必须4x2?3ax?4?0成立，即有??9a2?64?0． 解些不等式，得?83?a?83．这时，f(0)?b是唯一极值．
88,]． 33因此满足条件的a的取值范围是[?（Ⅲ）解：由条件a?[?2,2]，可知??9a2?64?0，从而4x2?3ax?4?0恒成立． 当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0．
因此函数f(x)在[?1,1]上的最大值是f(1)与f(?1)两者中的较大者．
?f(1)?1?f(?1)?1为使对任意的a?[?2,2]，不等式f(x)?1在[?1,1]上恒成立，当且仅当??b??2?a，在a?[?2,2]上恒成立． ?b??2?a?，即
所以b??4，因此满足条件的b的取值范围是(??,?4]． 6.（安徽卷20）．（本小题满分12分） 设函数f(x)?1xlnx(x?0且x?1)
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
1（Ⅱ）已知2x?x对任意x?(0,1)成立，求实数a的取值范围。 解 (1) f(x)??
x f(x) ''alnx?1xlnx22,若 f(x)?0, 则 x?'1e 列表如下
1(0,) e1e 1(,1) e(1,??) + 单调增 10 极大值f() e1x- 1- 单调减 f(x) 单调减 (2) 在 2x?x 两边取对数, 得
aln2?alnx,由于0?x?1,所以
aln2?1xlnx (1)
1e由(1)的结果可知,当x?(0,1)时, f(x)?f()??e, 为使(1)式对所有x?(0,1)成立,当且仅当
7.（山东卷21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?1(1?x)naln2??e,即a??eln2
?aln(x?1),其中n∈N*,a为常数.
（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1. （Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}， 当n=2时，f(x)?1(1?x)2?aln(x?1),
所以 f(x)?2?a(1?x)(1?x)32.
（1）当a＞0时，由f(x)=0得 x1?1?2a＞1，x2?1?2a＜1，
此时 f′（x）=
?a(x?x1)(x?x2)(1?x)3.
当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.
（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时， 当a＞0时，f(x)在x?1?当a≤0时，f(x)无极值. （Ⅱ）证法一：因为a=1,所以f(x)? 当n为偶数时，
令g(x)?x?1?1(1?x)n(x?1)n?1n2a处取得极小值，极小值为f(1?2a)?a2(1?ln2a).
1(1?x)n?ln(x?1).
?ln(x?1),
则 g′（x）=1+?1x?1?x?2x?1?n(x?1)n?1＞0（x≥2）.
所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此g(x)?x?1?1(x?1)n?ln(x?1)≥g(2)=0恒成立，
所以f(x)≤x-1成立.
当n为奇数时， 要证f(x)≤x-1,由于
1(1?x)n＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,
令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h′（x）=1-1x?1?x?2x?1≥0（x≥2）,
所以 当x∈[2，+∞]时，h(x)?x?1?ln(x?1)单调递增，又h(2)=1＞0， 所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.
综上所述，结论成立.
证法二：当a=1时，f(x)?1(1?x)n?ln(x?1).
当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.
1(1?x)n≤1，
令h(x)?x?1?(1?ln(x?1))?x?2?ln(x?1),x??2,??? 则h?(x)?1?1x?1?x?2x?1,
当x≥2时，h?(x)≥0，故h(x)在?2,???上单调递增， 因此 当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故 当x≥2时，有即f（x）≤x-1.
1(1?x)n?ln(x?1)≤x-1.
8.（江苏卷17）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．